Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61109 / 40723
↖ ↑ ↗
← N 56.140959°
W 12.159118°		 ← 170.13 m → N 56.140959°
W 12.156372°		 →
↑
170.17 m
↓
↑
170.17 m
↓
N 56.139429°
W 12.159118°		 ← 170.14 m →
28 952 m²		 N 56.139429°
W 12.156372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466228485107422 y=0.310695648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466228485107422 × 217)
    floor (0.466228485107422 × 131072)
    floor (61109.5)     		tx = 61109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310695648193359 × 217)
    floor (0.310695648193359 × 131072)
    floor (40723.5)     		ty = 40723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61109 / 40723 ti = "17/61109/40723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61109/40723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61109 ÷ 217
    61109 ÷ 131072     		x = 0.466224670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40723 ÷ 217
    40723 ÷ 131072     		y = 0.310691833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466224670410156 × 2 - 1) × π
    -0.0675506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21221665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310691833496094 × 2 - 1) × π
    0.378616333007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.18945829027245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21221665} λ = -0.21221665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18945829027245))-π/2
    2×atan(3.28530104572682)-π/2
    2×1.27532045316257-π/2
    2.55064090632515-1.57079632675     		φ = 0.97984458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21221665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.159118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97984458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.140959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61109 KachelY 40723 -0.21221665 0.97984458 -12.159118 56.140959
    Oben rechts KachelX + 1 61110 KachelY 40723 -0.21216872 0.97984458 -12.156372 56.140959
    Unten links KachelX 61109 KachelY + 1 40724 -0.21221665 0.97981787 -12.159118 56.139429
    Unten rechts KachelX + 1 61110 KachelY + 1 40724 -0.21216872 0.97981787 -12.156372 56.139429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97984458-0.97981787) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dl = 170.169409999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97984458-0.97981787) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dr = 170.169409999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21221665--0.21216872) × cos(0.97984458) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557151615939475 × 6371000     		do = 170.132948461064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21221665--0.21216872) × cos(0.97981787) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557173796012878 × 6371000     		du = 170.139721413304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97984458)-sin(0.97981787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557151615939475-0.557173796012878)×R²
    abs(-0.21216872--0.21221665)×2.21800734026001e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21800734026001e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21800734026001e-05×40589641000000     		ar = 28951.9997375255m²