Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61109 / 40399
↖ ↑ ↗
← N 56.633574°
W 12.159118°		 ← 167.95 m → N 56.633574°
W 12.156372°		 →
↑
168 m
↓
↑
168 m
↓
N 56.632063°
W 12.159118°		 ← 167.95 m →
28 216 m²		 N 56.632063°
W 12.156372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466228485107422 y=0.308223724365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466228485107422 × 217)
    floor (0.466228485107422 × 131072)
    floor (61109.5)     		tx = 61109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308223724365234 × 217)
    floor (0.308223724365234 × 131072)
    floor (40399.5)     		ty = 40399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61109 / 40399 ti = "17/61109/40399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61109/40399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61109 ÷ 217
    61109 ÷ 131072     		x = 0.466224670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40399 ÷ 217
    40399 ÷ 131072     		y = 0.308219909667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466224670410156 × 2 - 1) × π
    -0.0675506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21221665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308219909667969 × 2 - 1) × π
    0.383560180664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.20498984574935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21221665} λ = -0.21221665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20498984574935))-π/2
    2×atan(3.33672519595141)-π/2
    2×1.27961933315543-π/2
    2.55923866631086-1.57079632675     		φ = 0.98844234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21221665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.159118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98844234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.633574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61109 KachelY 40399 -0.21221665 0.98844234 -12.159118 56.633574
    Oben rechts KachelX + 1 61110 KachelY 40399 -0.21216872 0.98844234 -12.156372 56.633574
    Unten links KachelX 61109 KachelY + 1 40400 -0.21221665 0.98841597 -12.159118 56.632063
    Unten rechts KachelX + 1 61110 KachelY + 1 40400 -0.21216872 0.98841597 -12.156372 56.632063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98844234-0.98841597) × R
    2.63699999999423e-05 × 6371000     		dl = 168.003269999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98844234-0.98841597) × R
    2.63699999999423e-05 × 6371000     		dr = 168.003269999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21221665--0.21216872) × cos(0.98844234) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549991438636555 × 6371000     		do = 167.946502184684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21221665--0.21216872) × cos(0.98841597) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.550013461885939 × 6371000     		du = 167.953227248824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98844234)-sin(0.98841597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549991438636555-0.550013461885939)×R²
    abs(-0.21216872--0.21221665)×2.20232493841621e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20232493841621e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20232493841621e-05×40589641000000     		ar = 28216.1264700261m²