Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61108 / 57843
↖ ↑ ↗
← S 79.674392°
E155.676270°		 ← 109.48 m → S 79.674392°
E155.681762°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
S 79.675377°
E155.676270°		 ← 109.47 m →
11 989 m²		 S 79.675377°
E155.681762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932441711425781 y=0.882621765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932441711425781 × 216)
    floor (0.932441711425781 × 65536)
    floor (61108.5)     		tx = 61108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882621765136719 × 216)
    floor (0.882621765136719 × 65536)
    floor (57843.5)     		ty = 57843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61108 / 57843 ti = "16/61108/57843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61108/57843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61108 ÷ 216
    61108 ÷ 65536     		x = 0.93243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57843 ÷ 216
    57843 ÷ 65536     		y = 0.882614135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93243408203125 × 2 - 1) × π
    0.8648681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71706347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882614135742188 × 2 - 1) × π
    -0.765228271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40403551594582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71706347} λ = 2.71706347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40403551594582))-π/2
    2×atan(0.0903525972382568)-π/2
    2×0.090107927314542-π/2
    0.180215854629084-1.57079632675     		φ = -1.39058047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71706347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39058047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.674392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61108 KachelY 57843 2.71706347 -1.39058047 155.676270 -79.674392
    Oben rechts KachelX + 1 61109 KachelY 57843 2.71715934 -1.39058047 155.681762 -79.674392
    Unten links KachelX 61108 KachelY + 1 57844 2.71706347 -1.39059766 155.676270 -79.675377
    Unten rechts KachelX + 1 61109 KachelY + 1 57844 2.71715934 -1.39059766 155.681762 -79.675377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39058047--1.39059766) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dl = 109.517490000709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39058047--1.39059766) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dr = 109.517490000709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71706347-2.71715934) × cos(-1.39058047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179241938599514 × 6371000     		do = 109.478783967671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71706347-2.71715934) × cos(-1.39059766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17922502696465 × 6371000     		du = 109.468454547926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39058047)-sin(-1.39059766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179241938599514-0.17922502696465)×R²
    abs(2.71715934-2.71706347)×1.69116348636977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69116348636977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69116348636977e-05×40589641000000     		ar = 11989.2760028688m²