Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61107 / 41324
↖ ↑ ↗
← N 55.210222°
W 12.164612°		 ← 174.27 m → N 55.210222°
W 12.161865°		 →
↑
174.25 m
↓
↑
174.25 m
↓
N 55.208655°
W 12.164612°		 ← 174.27 m →
30 366 m²		 N 55.208655°
W 12.161865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466213226318359 y=0.315280914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466213226318359 × 217)
    floor (0.466213226318359 × 131072)
    floor (61107.5)     		tx = 61107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315280914306641 × 217)
    floor (0.315280914306641 × 131072)
    floor (41324.5)     		ty = 41324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61107 / 41324 ti = "17/61107/41324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61107/41324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61107 ÷ 217
    61107 ÷ 131072     		x = 0.466209411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41324 ÷ 217
    41324 ÷ 131072     		y = 0.315277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466209411621094 × 2 - 1) × π
    -0.0675811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21231253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315277099609375 × 2 - 1) × π
    0.36944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1606482136008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21231253} λ = -0.21231253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1606482136008))-π/2
    2×atan(3.19200170457071)-π/2
    2×1.26719824235997-π/2
    2.53439648471994-1.57079632675     		φ = 0.96360016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21231253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.164612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96360016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.210222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61107 KachelY 41324 -0.21231253 0.96360016 -12.164612 55.210222
    Oben rechts KachelX + 1 61108 KachelY 41324 -0.21226459 0.96360016 -12.161865 55.210222
    Unten links KachelX 61107 KachelY + 1 41325 -0.21231253 0.96357281 -12.164612 55.208655
    Unten rechts KachelX + 1 61108 KachelY + 1 41325 -0.21226459 0.96357281 -12.161865 55.208655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96360016-0.96357281) × R
    2.73500000000926e-05 × 6371000     		dl = 174.24685000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96360016-0.96357281) × R
    2.73500000000926e-05 × 6371000     		dr = 174.24685000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21231253--0.21226459) × cos(0.96360016) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570567054990951 × 6371000     		do = 174.265864990218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21231253--0.21226459) × cos(0.96357281) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570589515992912 × 6371000     		du = 174.272725158364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96360016)-sin(0.96357281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570567054990951-0.570589515992912)×R²
    abs(-0.21226459--0.21231253)×2.24610019609051e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24610019609051e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24610019609051e-05×40589641000000     		ar = 30365.8757203999m²