Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61106 / 57842
↖ ↑ ↗
← S 79.673408°
E155.665283°		 ← 109.50 m → S 79.673408°
E155.670777°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
S 79.674392°
E155.665283°		 ← 109.49 m →
11 985 m²		 S 79.674392°
E155.670777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932411193847656 y=0.882606506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932411193847656 × 216)
    floor (0.932411193847656 × 65536)
    floor (61106.5)     		tx = 61106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882606506347656 × 216)
    floor (0.882606506347656 × 65536)
    floor (57842.5)     		ty = 57842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61106 / 57842 ti = "16/61106/57842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61106/57842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61106 ÷ 216
    61106 ÷ 65536     		x = 0.932403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57842 ÷ 216
    57842 ÷ 65536     		y = 0.882598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932403564453125 × 2 - 1) × π
    0.86480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71687172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.76519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40393964214658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71687172} λ = 2.71687172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40393964214658))-π/2
    2×atan(0.0903612601002893)-π/2
    2×0.0901165200224883-π/2
    0.180233040044977-1.57079632675     		φ = -1.39056329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71687172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.665283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39056329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.673408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61106 KachelY 57842 2.71687172 -1.39056329 155.665283 -79.673408
    Oben rechts KachelX + 1 61107 KachelY 57842 2.71696760 -1.39056329 155.670777 -79.673408
    Unten links KachelX 61106 KachelY + 1 57843 2.71687172 -1.39058047 155.665283 -79.674392
    Unten rechts KachelX + 1 61107 KachelY + 1 57843 2.71696760 -1.39058047 155.670777 -79.674392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39056329--1.39058047) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dl = 109.453779999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39056329--1.39058047) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dr = 109.453779999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71687172-2.71696760) × cos(-1.39056329) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.179258840343392 × 6371000     		do = 109.500527926773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71687172-2.71696760) × cos(-1.39058047) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.179241938599514 × 6371000     		du = 109.49020347151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39056329)-sin(-1.39058047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179258840343392-0.179241938599514)×R²
    abs(2.71696760-2.71687172)×1.69017438787777e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.69017438787777e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.69017438787777e-05×40589641000000     		ar = 11984.6816685944m²