Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61105 / 84401
↖ ↑ ↗
← S 45.922498°
W 12.170105°		 ← 212.42 m → S 45.922498°
W 12.167359°		 →
↑
212.47 m
↓
↑
212.47 m
↓
S 45.924409°
W 12.170105°		 ← 212.41 m →
45 133 m²		 S 45.924409°
W 12.167359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466197967529297 y=0.643932342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466197967529297 × 217)
    floor (0.466197967529297 × 131072)
    floor (61105.5)     		tx = 61105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643932342529297 × 217)
    floor (0.643932342529297 × 131072)
    floor (84401.5)     		ty = 84401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61105 / 84401 ti = "17/61105/84401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61105/84401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61105 ÷ 217
    61105 ÷ 131072     		x = 0.466194152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84401 ÷ 217
    84401 ÷ 131072     		y = 0.643928527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466194152832031 × 2 - 1) × π
    -0.0676116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21240840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643928527832031 × 2 - 1) × π
    -0.287857055664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.904329611332359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21240840} λ = -0.21240840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904329611332359))-π/2
    2×atan(0.404813176323497)-π/2
    2×0.384648768120749-π/2
    0.769297536241497-1.57079632675     		φ = -0.80149879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21240840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.170105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80149879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.922498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61105 KachelY 84401 -0.21240840 -0.80149879 -12.170105 -45.922498
    Oben rechts KachelX + 1 61106 KachelY 84401 -0.21236047 -0.80149879 -12.167359 -45.922498
    Unten links KachelX 61105 KachelY + 1 84402 -0.21240840 -0.80153214 -12.170105 -45.924409
    Unten rechts KachelX + 1 61106 KachelY + 1 84402 -0.21236047 -0.80153214 -12.167359 -45.924409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80149879--0.80153214) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dl = 212.472849999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80149879--0.80153214) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dr = 212.472849999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21240840--0.21236047) × cos(-0.80149879) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.695630761083334 × 6371000     		do = 212.419221334859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21240840--0.21236047) × cos(-0.80153214) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.695606802073105 × 6371000     		du = 212.411905162858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80149879)-sin(-0.80153214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695630761083334-0.695606802073105)×R²
    abs(-0.21236047--0.21240840)×2.39590102297793e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39590102297793e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39590102297793e-05×40589641000000     		ar = 45132.5401118672m²