Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61104 / 84399
↖ ↑ ↗
← S 45.918677°
W 12.172852°		 ← 212.48 m → S 45.918677°
W 12.170105°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
S 45.920587°
W 12.172852°		 ← 212.47 m →
45 132 m²		 S 45.920587°
W 12.170105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466190338134766 y=0.643917083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466190338134766 × 217)
    floor (0.466190338134766 × 131072)
    floor (61104.5)     		tx = 61104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643917083740234 × 217)
    floor (0.643917083740234 × 131072)
    floor (84399.5)     		ty = 84399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61104 / 84399 ti = "17/61104/84399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61104/84399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61104 ÷ 217
    61104 ÷ 131072     		x = 0.4661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84399 ÷ 217
    84399 ÷ 131072     		y = 0.643913269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21245634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643913269042969 × 2 - 1) × π
    -0.287826538085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.904233737533119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21245634} λ = -0.21245634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904233737533119))-π/2
    2×atan(0.404851989161231)-π/2
    2×0.384682115651075-π/2
    0.769364231302151-1.57079632675     		φ = -0.80143210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21245634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80143210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.918677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61104 KachelY 84399 -0.21245634 -0.80143210 -12.172852 -45.918677
    Oben rechts KachelX + 1 61105 KachelY 84399 -0.21240840 -0.80143210 -12.170105 -45.918677
    Unten links KachelX 61104 KachelY + 1 84400 -0.21245634 -0.80146544 -12.172852 -45.920587
    Unten rechts KachelX + 1 61105 KachelY + 1 84400 -0.21240840 -0.80146544 -12.170105 -45.920587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80143210--0.80146544) × R
    3.33399999999928e-05 × 6371000     		dl = 212.409139999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80143210--0.80146544) × R
    3.33399999999928e-05 × 6371000     		dr = 212.409139999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21245634--0.21240840) × cos(-0.80143210) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.695678669599148 × 6371000     		do = 212.478172464519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21245634--0.21240840) × cos(-0.80146544) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.695654719319868 × 6371000     		du = 212.470857432747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80143210)-sin(-0.80146544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695678669599148-0.695654719319868)×R²
    abs(-0.21240840--0.21245634)×2.39502792798163e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39502792798163e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39502792798163e-05×40589641000000     		ar = 45131.5289964756m²