Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61104 / 41180
↖ ↑ ↗
← N 55.435247°
W 12.172852°		 ← 173.28 m → N 55.435247°
W 12.170105°		 →
↑
173.29 m
↓
↑
173.29 m
↓
N 55.433688°
W 12.172852°		 ← 173.29 m →
30 028 m²		 N 55.433688°
W 12.170105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466190338134766 y=0.314182281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466190338134766 × 217)
    floor (0.466190338134766 × 131072)
    floor (61104.5)     		tx = 61104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314182281494141 × 217)
    floor (0.314182281494141 × 131072)
    floor (41180.5)     		ty = 41180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61104 / 41180 ti = "17/61104/41180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61104/41180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61104 ÷ 217
    61104 ÷ 131072     		x = 0.4661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41180 ÷ 217
    41180 ÷ 131072     		y = 0.314178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21245634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314178466796875 × 2 - 1) × π
    0.37164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16755112714609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21245634} λ = -0.21245634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16755112714609))-π/2
    2×atan(3.21411204144895)-π/2
    2×1.26916195339988-π/2
    2.53832390679977-1.57079632675     		φ = 0.96752758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21245634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96752758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.435247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61104 KachelY 41180 -0.21245634 0.96752758 -12.172852 55.435247
    Oben rechts KachelX + 1 61105 KachelY 41180 -0.21240840 0.96752758 -12.170105 55.435247
    Unten links KachelX 61104 KachelY + 1 41181 -0.21245634 0.96750038 -12.172852 55.433688
    Unten rechts KachelX + 1 61105 KachelY + 1 41181 -0.21240840 0.96750038 -12.170105 55.433688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96752758-0.96750038) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dl = 173.291200000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96752758-0.96750038) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dr = 173.291200000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21245634--0.21240840) × cos(0.96752758) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567337265220149 × 6371000     		do = 173.279404059427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21245634--0.21240840) × cos(0.96750038) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567359663816848 × 6371000     		du = 173.286245167399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96752758)-sin(0.96750038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567337265220149-0.567359663816848)×R²
    abs(-0.21240840--0.21245634)×2.2398596698614e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2398596698614e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2398596698614e-05×40589641000000     		ar = 30028.3886184467m²