Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61103 / 41331
↖ ↑ ↗
← N 55.199251°
W 12.175598°		 ← 174.31 m → N 55.199251°
W 12.172852°		 →
↑
174.31 m
↓
↑
174.31 m
↓
N 55.197683°
W 12.175598°		 ← 174.32 m →
30 385 m²		 N 55.197683°
W 12.172852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466182708740234 y=0.315334320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466182708740234 × 217)
    floor (0.466182708740234 × 131072)
    floor (61103.5)     		tx = 61103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315334320068359 × 217)
    floor (0.315334320068359 × 131072)
    floor (41331.5)     		ty = 41331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61103 / 41331 ti = "17/61103/41331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61103/41331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61103 ÷ 217
    61103 ÷ 131072     		x = 0.466178894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41331 ÷ 217
    41331 ÷ 131072     		y = 0.315330505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466178894042969 × 2 - 1) × π
    -0.0676422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21250428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315330505371094 × 2 - 1) × π
    0.369338989257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.16031265530346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21250428} λ = -0.21250428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16031265530346))-π/2
    2×atan(3.19093078160221)-π/2
    2×1.26710249991389-π/2
    2.53420499982778-1.57079632675     		φ = 0.96340867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21250428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.175598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96340867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.199251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61103 KachelY 41331 -0.21250428 0.96340867 -12.175598 55.199251
    Oben rechts KachelX + 1 61104 KachelY 41331 -0.21245634 0.96340867 -12.172852 55.199251
    Unten links KachelX 61103 KachelY + 1 41332 -0.21250428 0.96338131 -12.175598 55.197683
    Unten rechts KachelX + 1 61104 KachelY + 1 41332 -0.21245634 0.96338131 -12.172852 55.197683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96340867-0.96338131) × R
    2.73599999999208e-05 × 6371000     		dl = 174.310559999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96340867-0.96338131) × R
    2.73599999999208e-05 × 6371000     		dr = 174.310559999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21250428--0.21245634) × cos(0.96340867) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570724305886669 × 6371000     		do = 174.313893461409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21250428--0.21245634) × cos(0.96338131) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570746772111218 × 6371000     		du = 174.320755224667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96340867)-sin(0.96338131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570724305886669-0.570746772111218)×R²
    abs(-0.21245634--0.21250428)×2.24662245483787e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24662245483787e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24662245483787e-05×40589641000000     		ar = 30385.3504256784m²