Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61103 / 40433
↖ ↑ ↗
← N 56.582179°
W 12.175598°		 ← 168.21 m → N 56.582179°
W 12.172852°		 →
↑
168.19 m
↓
↑
168.19 m
↓
N 56.580666°
W 12.175598°		 ← 168.22 m →
28 293 m²		 N 56.580666°
W 12.172852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466182708740234 y=0.308483123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466182708740234 × 217)
    floor (0.466182708740234 × 131072)
    floor (61103.5)     		tx = 61103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308483123779297 × 217)
    floor (0.308483123779297 × 131072)
    floor (40433.5)     		ty = 40433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61103 / 40433 ti = "17/61103/40433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61103/40433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61103 ÷ 217
    61103 ÷ 131072     		x = 0.466178894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40433 ÷ 217
    40433 ÷ 131072     		y = 0.308479309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466178894042969 × 2 - 1) × π
    -0.0676422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21250428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308479309082031 × 2 - 1) × π
    0.383041381835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.20335999116227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21250428} λ = -0.21250428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20335999116227))-π/2
    2×atan(3.3312912485599)-π/2
    2×1.27917082499385-π/2
    2.55834164998771-1.57079632675     		φ = 0.98754532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21250428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.175598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98754532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.582179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61103 KachelY 40433 -0.21250428 0.98754532 -12.175598 56.582179
    Oben rechts KachelX + 1 61104 KachelY 40433 -0.21245634 0.98754532 -12.172852 56.582179
    Unten links KachelX 61103 KachelY + 1 40434 -0.21250428 0.98751892 -12.175598 56.580666
    Unten rechts KachelX + 1 61104 KachelY + 1 40434 -0.21245634 0.98751892 -12.172852 56.580666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98754532-0.98751892) × R
    2.6399999999982e-05 × 6371000     		dl = 168.194399999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98754532-0.98751892) × R
    2.6399999999982e-05 × 6371000     		dr = 168.194399999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21250428--0.21245634) × cos(0.98754532) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.550740381717956 × 6371000     		do = 168.210288634076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21250428--0.21245634) × cos(0.98751892) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.550762416988356 × 6371000     		du = 168.217018772844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98754532)-sin(0.98751892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550740381717956-0.550762416988356)×R²
    abs(-0.21245634--0.21250428)×2.20352704001225e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20352704001225e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20352704001225e-05×40589641000000     		ar = 28292.594558113m²