Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61102 / 83097
↖ ↑ ↗
← S 43.375109°
W 12.178345°		 ← 221.96 m → S 43.375109°
W 12.175598°		 →
↑
221.97 m
↓
↑
221.97 m
↓
S 43.377105°
W 12.178345°		 ← 221.95 m →
49 267 m²		 S 43.377105°
W 12.175598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466175079345703 y=0.633983612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466175079345703 × 217)
    floor (0.466175079345703 × 131072)
    floor (61102.5)     		tx = 61102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633983612060547 × 217)
    floor (0.633983612060547 × 131072)
    floor (83097.5)     		ty = 83097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61102 / 83097 ti = "17/61102/83097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61102/83097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61102 ÷ 217
    61102 ÷ 131072     		x = 0.466171264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83097 ÷ 217
    83097 ÷ 131072     		y = 0.633979797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466171264648438 × 2 - 1) × π
    -0.067657470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21255221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633979797363281 × 2 - 1) × π
    -0.267959594726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.841819894227806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21255221} λ = -0.21255221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841819894227806))-π/2
    2×atan(0.430925570421779)-π/2
    2×0.406878933875776-π/2
    0.813757867751553-1.57079632675     		φ = -0.75703846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21255221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.178345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75703846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.375109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61102 KachelY 83097 -0.21255221 -0.75703846 -12.178345 -43.375109
    Oben rechts KachelX + 1 61103 KachelY 83097 -0.21250428 -0.75703846 -12.175598 -43.375109
    Unten links KachelX 61102 KachelY + 1 83098 -0.21255221 -0.75707330 -12.178345 -43.377105
    Unten rechts KachelX + 1 61103 KachelY + 1 83098 -0.21250428 -0.75707330 -12.175598 -43.377105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75703846--0.75707330) × R
    3.48399999999804e-05 × 6371000     		dl = 221.965639999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75703846--0.75707330) × R
    3.48399999999804e-05 × 6371000     		dr = 221.965639999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21255221--0.21250428) × cos(-0.75703846) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.726873097510798 × 6371000     		do = 221.959444608292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21255221--0.21250428) × cos(-0.75707330) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.726849169940273 × 6371000     		du = 221.952138036784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75703846)-sin(-0.75707330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726873097510798-0.726849169940273)×R²
    abs(-0.21250428--0.21255221)×2.39275705248287e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39275705248287e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39275705248287e-05×40589641000000     		ar = 49266.5592776181m²