Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61101 / 41133
↖ ↑ ↗
← N 55.508416°
W 12.181091°		 ← 172.96 m → N 55.508416°
W 12.178345°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
N 55.506861°
W 12.181091°		 ← 172.96 m →
29 907 m²		 N 55.506861°
W 12.178345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466167449951172 y=0.313823699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466167449951172 × 217)
    floor (0.466167449951172 × 131072)
    floor (61101.5)     		tx = 61101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313823699951172 × 217)
    floor (0.313823699951172 × 131072)
    floor (41133.5)     		ty = 41133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61101 / 41133 ti = "17/61101/41133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61101/41133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61101 ÷ 217
    61101 ÷ 131072     		x = 0.466163635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41133 ÷ 217
    41133 ÷ 131072     		y = 0.313819885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466163635253906 × 2 - 1) × π
    -0.0676727294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21260015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313819885253906 × 2 - 1) × π
    0.372360229492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.16980416142823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21260015} λ = -0.21260015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16980416142823))-π/2
    2×atan(3.22136170987402)-π/2
    2×1.26980047585846-π/2
    2.53960095171693-1.57079632675     		φ = 0.96880462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21260015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.181091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96880462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.508416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61101 KachelY 41133 -0.21260015 0.96880462 -12.181091 55.508416
    Oben rechts KachelX + 1 61102 KachelY 41133 -0.21255221 0.96880462 -12.178345 55.508416
    Unten links KachelX 61101 KachelY + 1 41134 -0.21260015 0.96877748 -12.181091 55.506861
    Unten rechts KachelX + 1 61102 KachelY + 1 41134 -0.21255221 0.96877748 -12.178345 55.506861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96880462-0.96877748) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dl = 172.908940000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96880462-0.96877748) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dr = 172.908940000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21260015--0.21255221) × cos(0.96880462) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566285178921904 × 6371000     		do = 172.958069823242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21260015--0.21255221) × cos(0.96877748) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56630754775582 × 6371000     		du = 172.964901840893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96880462)-sin(0.96877748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566285178921904-0.56630754775582)×R²
    abs(-0.21255221--0.21260015)×2.23688339155981e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23688339155981e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23688339155981e-05×40589641000000     		ar = 29906.5871780308m²