Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61101 / 40972
↖ ↑ ↗
← N 55.758032°
W 12.181091°		 ← 171.86 m → N 55.758032°
W 12.178345°		 →
↑
171.89 m
↓
↑
171.89 m
↓
N 55.756486°
W 12.181091°		 ← 171.87 m →
29 541 m²		 N 55.756486°
W 12.178345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466167449951172 y=0.312595367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466167449951172 × 217)
    floor (0.466167449951172 × 131072)
    floor (61101.5)     		tx = 61101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312595367431641 × 217)
    floor (0.312595367431641 × 131072)
    floor (40972.5)     		ty = 40972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61101 / 40972 ti = "17/61101/40972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61101/40972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61101 ÷ 217
    61101 ÷ 131072     		x = 0.466163635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40972 ÷ 217
    40972 ÷ 131072     		y = 0.312591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466163635253906 × 2 - 1) × π
    -0.0676727294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21260015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17752200226706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21260015} λ = -0.21260015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17752200226706))-π/2
    2×atan(3.24631985444282)-π/2
    2×1.27197878278165-π/2
    2.54395756556329-1.57079632675     		φ = 0.97316124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21260015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.181091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97316124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.758032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61101 KachelY 40972 -0.21260015 0.97316124 -12.181091 55.758032
    Oben rechts KachelX + 1 61102 KachelY 40972 -0.21255221 0.97316124 -12.178345 55.758032
    Unten links KachelX 61101 KachelY + 1 40973 -0.21260015 0.97313426 -12.181091 55.756486
    Unten rechts KachelX + 1 61102 KachelY + 1 40973 -0.21255221 0.97313426 -12.178345 55.756486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97316124-0.97313426) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dl = 171.889580000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97316124-0.97313426) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dr = 171.889580000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21260015--0.21255221) × cos(0.97316124) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562689049150518 × 6371000     		do = 171.85971922668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21260015--0.21255221) × cos(0.97313426) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562711352465522 × 6371000     		du = 171.86653123317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97316124)-sin(0.97313426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562689049150518-0.562711352465522)×R²
    abs(-0.21255221--0.21260015)×2.23033150037466e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23033150037466e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23033150037466e-05×40589641000000     		ar = 29541.4804151713m²