Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61101 / 40971
↖ ↑ ↗
← N 55.759577°
W 12.181091°		 ← 171.85 m → N 55.759577°
W 12.178345°		 →
↑
171.83 m
↓
↑
171.83 m
↓
N 55.758032°
W 12.181091°		 ← 171.86 m →
29 529 m²		 N 55.758032°
W 12.178345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466167449951172 y=0.312587738037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466167449951172 × 217)
    floor (0.466167449951172 × 131072)
    floor (61101.5)     		tx = 61101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312587738037109 × 217)
    floor (0.312587738037109 × 131072)
    floor (40971.5)     		ty = 40971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61101 / 40971 ti = "17/61101/40971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61101/40971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61101 ÷ 217
    61101 ÷ 131072     		x = 0.466163635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40971 ÷ 217
    40971 ÷ 131072     		y = 0.312583923339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466163635253906 × 2 - 1) × π
    -0.0676727294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21260015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312583923339844 × 2 - 1) × π
    0.374832153320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.17756993916668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21260015} λ = -0.21260015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17756993916668))-π/2
    2×atan(3.24647547668182)-π/2
    2×1.27199226929868-π/2
    2.54398453859736-1.57079632675     		φ = 0.97318821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21260015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.181091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97318821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.759577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61101 KachelY 40971 -0.21260015 0.97318821 -12.181091 55.759577
    Oben rechts KachelX + 1 61102 KachelY 40971 -0.21255221 0.97318821 -12.178345 55.759577
    Unten links KachelX 61101 KachelY + 1 40972 -0.21260015 0.97316124 -12.181091 55.758032
    Unten rechts KachelX + 1 61102 KachelY + 1 40972 -0.21255221 0.97316124 -12.178345 55.758032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97318821-0.97316124) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dl = 171.825869999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97318821-0.97316124) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dr = 171.825869999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21260015--0.21255221) × cos(0.97318821) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56266675369276 × 6371000     		do = 171.852909619996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21260015--0.21255221) × cos(0.97316124) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562689049150518 × 6371000     		du = 171.85971922668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97318821)-sin(0.97316124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56266675369276-0.562689049150518)×R²
    abs(-0.21255221--0.21260015)×2.22954577583367e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22954577583367e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22954577583367e-05×40589641000000     		ar = 29529.3607424982m²