Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61100 / 57957
↖ ↑ ↗
← S 79.786036°
E155.632324°		 ← 108.31 m → S 79.786036°
E155.637817°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 79.787010°
E155.632324°		 ← 108.30 m →
11 730 m²		 S 79.787010°
E155.637817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932319641113281 y=0.884361267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932319641113281 × 216)
    floor (0.932319641113281 × 65536)
    floor (61100.5)     		tx = 61100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884361267089844 × 216)
    floor (0.884361267089844 × 65536)
    floor (57957.5)     		ty = 57957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61100 / 57957 ti = "16/61100/57957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61100/57957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61100 ÷ 216
    61100 ÷ 65536     		x = 0.93231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57957 ÷ 216
    57957 ÷ 65536     		y = 0.884353637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93231201171875 × 2 - 1) × π
    0.8646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71629648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884353637695312 × 2 - 1) × π
    -0.768707275390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41496512905919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71629648} λ = 2.71629648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41496512905919))-π/2
    2×atan(0.0893704552992744)-π/2
    2×0.0891336528094819-π/2
    0.178267305618964-1.57079632675     		φ = -1.39252902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71629648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.632324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39252902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.786036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61100 KachelY 57957 2.71629648 -1.39252902 155.632324 -79.786036
    Oben rechts KachelX + 1 61101 KachelY 57957 2.71639235 -1.39252902 155.637817 -79.786036
    Unten links KachelX 61100 KachelY + 1 57958 2.71629648 -1.39254602 155.632324 -79.787010
    Unten rechts KachelX + 1 61101 KachelY + 1 57958 2.71639235 -1.39254602 155.637817 -79.787010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39252902--1.39254602) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dl = 108.306999999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39252902--1.39254602) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dr = 108.306999999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71629648-2.71639235) × cos(-1.39252902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177324606253898 × 6371000     		do = 108.307700819944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71629648-2.71639235) × cos(-1.39254602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177307875637151 × 6371000     		du = 108.297481963851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39252902)-sin(-1.39254602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177324606253898-0.177307875637151)×R²
    abs(2.71639235-2.71629648)×1.67306167472014e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67306167472014e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67306167472014e-05×40589641000000     		ar = 11729.9287658537m²