Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61100 / 34077
↖ ↑ ↗
← N 65.038538°
W 12.183838°		 ← 128.89 m → N 65.038538°
W 12.181091°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 65.037379°
W 12.183838°		 ← 128.90 m →
16 613 m²		 N 65.037379°
W 12.181091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466159820556641 y=0.259990692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466159820556641 × 217)
    floor (0.466159820556641 × 131072)
    floor (61100.5)     		tx = 61100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259990692138672 × 217)
    floor (0.259990692138672 × 131072)
    floor (34077.5)     		ty = 34077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61100 / 34077 ti = "17/61100/34077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61100/34077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61100 ÷ 217
    61100 ÷ 131072     		x = 0.466156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34077 ÷ 217
    34077 ÷ 131072     		y = 0.259986877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.06768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21264809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259986877441406 × 2 - 1) × π
    0.480026245117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.50804692514735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21264809} λ = -0.21264809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50804692514735))-π/2
    2×atan(4.51789837822762)-π/2
    2×1.35296647696633-π/2
    2.70593295393266-1.57079632675     		φ = 1.13513663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21264809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.183838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13513663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.038538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61100 KachelY 34077 -0.21264809 1.13513663 -12.183838 65.038538
    Oben rechts KachelX + 1 61101 KachelY 34077 -0.21260015 1.13513663 -12.181091 65.038538
    Unten links KachelX 61100 KachelY + 1 34078 -0.21264809 1.13511640 -12.183838 65.037379
    Unten rechts KachelX + 1 61101 KachelY + 1 34078 -0.21260015 1.13511640 -12.181091 65.037379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13513663-1.13511640) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13513663-1.13511640) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21264809--0.21260015) × cos(1.13513663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.422008568884676 × 6371000     		do = 128.892279438008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21264809--0.21260015) × cos(1.13511640) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.422026909151282 × 6371000     		du = 128.897881027508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13513663)-sin(1.13511640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422008568884676-0.422026909151282)×R²
    abs(-0.21260015--0.21264809)×1.83402666062427e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83402666062427e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83402666062427e-05×40589641000000     		ar = 16612.6849517783m²