Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6110 / 10158
↖ ↑ ↗
← S 39.605688°
W 45.747070°		 ← 1 882.42 m → S 39.605688°
W 45.725097°		 →
↑
1 882.18 m
↓
↑
1 882.18 m
↓
S 39.622615°
W 45.747070°		 ← 1 881.96 m →
3 542 636 m²		 S 39.622615°
W 45.725097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372955322265625 y=0.620025634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372955322265625 × 214)
    floor (0.372955322265625 × 16384)
    floor (6110.5)     		tx = 6110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620025634765625 × 214)
    floor (0.620025634765625 × 16384)
    floor (10158.5)     		ty = 10158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6110 / 10158 ti = "14/6110/10158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6110/10158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6110 ÷ 214
    6110 ÷ 16384     		x = 0.3729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10158 ÷ 214
    10158 ÷ 16384     		y = 0.6199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79843700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.753951557224243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79843700} λ = -0.79843700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753951557224243))-π/2
    2×atan(0.470503652379798)-π/2
    2×0.439773332790803-π/2
    0.879546665581606-1.57079632675     		φ = -0.69124966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79843700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69124966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.605688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6110 KachelY 10158 -0.79843700 -0.69124966 -45.747070 -39.605688
    Oben rechts KachelX + 1 6111 KachelY 10158 -0.79805350 -0.69124966 -45.725097 -39.605688
    Unten links KachelX 6110 KachelY + 1 10159 -0.79843700 -0.69154509 -45.747070 -39.622615
    Unten rechts KachelX + 1 6111 KachelY + 1 10159 -0.79805350 -0.69154509 -45.725097 -39.622615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69124966--0.69154509) × R
    0.000295429999999985 × 6371000     		dl = 1882.18452999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69124966--0.69154509) × R
    0.000295429999999985 × 6371000     		dr = 1882.18452999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79843700--0.79805350) × cos(-0.69124966) × R
    0.000383499999999981 × 0.770449957940872 × 6371000     		do = 1882.42381756274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79843700--0.79805350) × cos(-0.69154509) × R
    0.000383499999999981 × 0.770261587554728 × 6371000     		du = 1881.96357624824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69124966)-sin(-0.69154509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770449957940872-0.770261587554728)×R²
    abs(-0.79805350--0.79843700)×0.000188370386144721×R²
    0.000383499999999981×0.000188370386144721×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188370386144721×40589641000000     		ar = 3542635.88454619m²