Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 611 / 468
↖ ↑ ↗
← N 15.284185°
E 34.804687°		 ← 37.709 km → N 15.284185°
E 35.156250°		 →
↑
37.740 km
↓
↑
37.740 km
↓
N 14.944785°
E 34.804687°		 ← 37.770 km →
1 424.28 km²		 N 14.944785°
E 35.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59716796875 y=0.45751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59716796875 × 210)
    floor (0.59716796875 × 1024)
    floor (611.5)     		tx = 611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45751953125 × 210)
    floor (0.45751953125 × 1024)
    floor (468.5)     		ty = 468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 611 / 468 ti = "10/611/468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/611/468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 611 ÷ 210
    611 ÷ 1024     		x = 0.5966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 468 ÷ 210
    468 ÷ 1024     		y = 0.45703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5966796875 × 2 - 1) × π
    0.193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.60745639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45703125 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60745639} λ = 0.60745639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269980618660156))-π/2
    2×atan(1.30993906211308)-π/2
    2×0.918777840256196-π/2
    1.83755568051239-1.57079632675     		φ = 0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60745639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.804687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 611 KachelY 468 0.60745639 0.26675935 34.804687 15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 612 KachelY 468 0.61359232 0.26675935 35.156250 15.284185
    Unten links KachelX 611 KachelY + 1 469 0.60745639 0.26083570 34.804687 14.944785
    Unten rechts KachelX + 1 612 KachelY + 1 469 0.61359232 0.26083570 35.156250 14.944785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26675935-0.26083570) × R
    0.00592365 × 6371000     		dl = 37739.57415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26675935-0.26083570) × R
    0.00592365 × 6371000     		dr = 37739.57415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60745639-0.61359232) × cos(0.26675935) × R
    0.00613593000000001 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 37709.3341345107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60745639-0.61359232) × cos(0.26083570) × R
    0.00613593000000001 × 0.966174798481606 × 6371000     		du = 37769.7149129762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26675935)-sin(0.26083570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.966174798481606)×R²
    abs(0.61359232-0.60745639)×0.00154458106449795×R²
    0.00613593000000001×0.00154458106449795×6371000²
    0.00613593000000001×0.00154458106449795×40589641000000     		ar = 1424277748.93351m²