Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 611 / 466
↖ ↑ ↗
← N 15.961329°
E 34.804687°		 ← 37.585 km → N 15.961329°
E 35.156250°		 →
↑
37.616 km
↓
↑
37.616 km
↓
N 15.623037°
E 34.804687°		 ← 37.648 km →
1 415 km²		 N 15.623037°
E 35.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59716796875 y=0.45556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59716796875 × 210)
    floor (0.59716796875 × 1024)
    floor (611.5)     		tx = 611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45556640625 × 210)
    floor (0.45556640625 × 1024)
    floor (466.5)     		ty = 466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 611 / 466 ti = "10/611/466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/611/466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 611 ÷ 210
    611 ÷ 1024     		x = 0.5966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 466 ÷ 210
    466 ÷ 1024     		y = 0.455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5966796875 × 2 - 1) × π
    0.193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.60745639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455078125 × 2 - 1) × π
    0.08984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.282252464962891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60745639} λ = 0.60745639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.282252464962891))-π/2
    2×atan(1.3261134749173)-π/2
    2×0.924687036127662-π/2
    1.84937407225532-1.57079632675     		φ = 0.27857775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60745639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.804687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27857775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.961329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 611 KachelY 466 0.60745639 0.27857775 34.804687 15.961329
    Oben rechts KachelX + 1 612 KachelY 466 0.61359232 0.27857775 35.156250 15.961329
    Unten links KachelX 611 KachelY + 1 467 0.60745639 0.27267343 34.804687 15.623037
    Unten rechts KachelX + 1 612 KachelY + 1 467 0.61359232 0.27267343 35.156250 15.623037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27857775-0.27267343) × R
    0.00590432000000002 × 6371000     		dl = 37616.4227200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27857775-0.27267343) × R
    0.00590432000000002 × 6371000     		dr = 37616.4227200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60745639-0.61359232) × cos(0.27857775) × R
    0.00613593000000001 × 0.961447512990499 × 6371000     		do = 37584.9158211432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60745639-0.61359232) × cos(0.27267343) × R
    0.00613593000000001 × 0.963054365247437 × 6371000     		du = 37647.7309056882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27857775)-sin(0.27267343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961447512990499-0.963054365247437)×R²
    abs(0.61359232-0.60745639)×0.00160685225693835×R²
    0.00613593000000001×0.00160685225693835×6371000²
    0.00613593000000001×0.00160685225693835×40589641000000     		ar = 1414995631.49245m²