Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61099 / 40901
↖ ↑ ↗
← N 55.867606°
W 12.186584°		 ← 171.34 m → N 55.867606°
W 12.183838°		 →
↑
171.38 m
↓
↑
171.38 m
↓
N 55.866065°
W 12.186584°		 ← 171.35 m →
29 365 m²		 N 55.866065°
W 12.183838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466152191162109 y=0.312053680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466152191162109 × 217)
    floor (0.466152191162109 × 131072)
    floor (61099.5)     		tx = 61099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312053680419922 × 217)
    floor (0.312053680419922 × 131072)
    floor (40901.5)     		ty = 40901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61099 / 40901 ti = "17/61099/40901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61099/40901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61099 ÷ 217
    61099 ÷ 131072     		x = 0.466148376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40901 ÷ 217
    40901 ÷ 131072     		y = 0.312049865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466148376464844 × 2 - 1) × π
    -0.0677032470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21269602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312049865722656 × 2 - 1) × π
    0.375900268554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.18092552214008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21269602} λ = -0.21269602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18092552214008))-π/2
    2×atan(3.25738759253087)-π/2
    2×1.27293499805345-π/2
    2.5458699961069-1.57079632675     		φ = 0.97507367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21269602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.186584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97507367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.867606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61099 KachelY 40901 -0.21269602 0.97507367 -12.186584 55.867606
    Oben rechts KachelX + 1 61100 KachelY 40901 -0.21264809 0.97507367 -12.183838 55.867606
    Unten links KachelX 61099 KachelY + 1 40902 -0.21269602 0.97504677 -12.186584 55.866065
    Unten rechts KachelX + 1 61100 KachelY + 1 40902 -0.21264809 0.97504677 -12.183838 55.866065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97507367-0.97504677) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dl = 171.379900000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97507367-0.97504677) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dr = 171.379900000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21269602--0.21264809) × cos(0.97507367) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.56110707522849 × 6371000     		do = 171.34079553914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21269602--0.21264809) × cos(0.97504677) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.561129341318287 × 6371000     		du = 171.347594757521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97507367)-sin(0.97504677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56110707522849-0.561129341318287)×R²
    abs(-0.21264809--0.21269602)×2.22660897969407e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22660897969407e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22660897969407e-05×40589641000000     		ar = 29364.9510319228m²