Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61099 / 34067
↖ ↑ ↗
← N 65.050126°
W 12.186584°		 ← 128.81 m → N 65.050126°
W 12.183838°		 →
↑
128.82 m
↓
↑
128.82 m
↓
N 65.048968°
W 12.186584°		 ← 128.81 m →
16 594 m²		 N 65.048968°
W 12.183838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466152191162109 y=0.259914398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466152191162109 × 217)
    floor (0.466152191162109 × 131072)
    floor (61099.5)     		tx = 61099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259914398193359 × 217)
    floor (0.259914398193359 × 131072)
    floor (34067.5)     		ty = 34067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61099 / 34067 ti = "17/61099/34067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61099/34067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61099 ÷ 217
    61099 ÷ 131072     		x = 0.466148376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34067 ÷ 217
    34067 ÷ 131072     		y = 0.259910583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466148376464844 × 2 - 1) × π
    -0.0677032470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21269602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259910583496094 × 2 - 1) × π
    0.480178833007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.50852629414355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21269602} λ = -0.21269602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50852629414355))-π/2
    2×atan(4.52006463781549)-π/2
    2×1.35306760390222-π/2
    2.70613520780444-1.57079632675     		φ = 1.13533888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21269602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.186584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13533888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.050126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61099 KachelY 34067 -0.21269602 1.13533888 -12.186584 65.050126
    Oben rechts KachelX + 1 61100 KachelY 34067 -0.21264809 1.13533888 -12.183838 65.050126
    Unten links KachelX 61099 KachelY + 1 34068 -0.21269602 1.13531866 -12.186584 65.048968
    Unten rechts KachelX + 1 61100 KachelY + 1 34068 -0.21264809 1.13531866 -12.183838 65.048968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13533888-1.13531866) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dl = 128.82161999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13533888-1.13531866) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dr = 128.82161999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21269602--0.21264809) × cos(1.13533888) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.42182520205476 × 6371000     		do = 128.809400004606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21269602--0.21264809) × cos(1.13531866) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.421843534980997 × 6371000     		du = 128.814998184178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13533888)-sin(1.13531866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42182520205476-0.421843534980997)×R²
    abs(-0.21264809--0.21269602)×1.83329262374299e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83329262374299e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83329262374299e-05×40589641000000     		ar = 16593.7961635535m²