Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61098 / 41116
↖ ↑ ↗
← N 55.534848°
W 12.189331°		 ← 172.84 m → N 55.534848°
W 12.186584°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
N 55.533294°
W 12.189331°		 ← 172.85 m →
29 875 m²		 N 55.533294°
W 12.186584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466144561767578 y=0.313694000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466144561767578 × 217)
    floor (0.466144561767578 × 131072)
    floor (61098.5)     		tx = 61098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313694000244141 × 217)
    floor (0.313694000244141 × 131072)
    floor (41116.5)     		ty = 41116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61098 / 41116 ti = "17/61098/41116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61098/41116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61098 ÷ 217
    61098 ÷ 131072     		x = 0.466140747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41116 ÷ 217
    41116 ÷ 131072     		y = 0.313690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466140747070312 × 2 - 1) × π
    -0.067718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21274396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313690185546875 × 2 - 1) × π
    0.37261962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17061908872177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21274396} λ = -0.21274396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17061908872177))-π/2
    2×atan(3.223987955408)-π/2
    2×1.27003113899923-π/2
    2.54006227799846-1.57079632675     		φ = 0.96926595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21274396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.189331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96926595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.534848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61098 KachelY 41116 -0.21274396 0.96926595 -12.189331 55.534848
    Oben rechts KachelX + 1 61099 KachelY 41116 -0.21269602 0.96926595 -12.186584 55.534848
    Unten links KachelX 61098 KachelY + 1 41117 -0.21274396 0.96923882 -12.189331 55.533294
    Unten rechts KachelX + 1 61099 KachelY + 1 41117 -0.21269602 0.96923882 -12.186584 55.533294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96926595-0.96923882) × R
    2.71300000000974e-05 × 6371000     		dl = 172.84523000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96926595-0.96923882) × R
    2.71300000000974e-05 × 6371000     		dr = 172.84523000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21274396--0.21269602) × cos(0.96926595) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565904886163855 × 6371000     		do = 172.841918626198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21274396--0.21269602) × cos(0.96923882) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56592725384115 × 6371000     		du = 172.848750290588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96926595)-sin(0.96923882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565904886163855-0.56592725384115)×R²
    abs(-0.21269602--0.21274396)×2.23676772946879e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23676772946879e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23676772946879e-05×40589641000000     		ar = 29875.491590665m²