Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61097 / 34076
↖ ↑ ↗
← N 65.039697°
W 12.192078°		 ← 128.89 m → N 65.039697°
W 12.189331°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 65.038538°
W 12.192078°		 ← 128.89 m →
16 612 m²		 N 65.038538°
W 12.189331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466136932373047 y=0.259983062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466136932373047 × 217)
    floor (0.466136932373047 × 131072)
    floor (61097.5)     		tx = 61097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259983062744141 × 217)
    floor (0.259983062744141 × 131072)
    floor (34076.5)     		ty = 34076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61097 / 34076 ti = "17/61097/34076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61097/34076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61097 ÷ 217
    61097 ÷ 131072     		x = 0.466133117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34076 ÷ 217
    34076 ÷ 131072     		y = 0.259979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466133117675781 × 2 - 1) × π
    -0.0677337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21279190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259979248046875 × 2 - 1) × π
    0.48004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50809486204697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21279190} λ = -0.21279190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50809486204697))-π/2
    2×atan(4.5181149574597)-π/2
    2×1.3529765916378-π/2
    2.70595318327561-1.57079632675     		φ = 1.13515686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21279190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.192078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13515686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.039697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61097 KachelY 34076 -0.21279190 1.13515686 -12.192078 65.039697
    Oben rechts KachelX + 1 61098 KachelY 34076 -0.21274396 1.13515686 -12.189331 65.039697
    Unten links KachelX 61097 KachelY + 1 34077 -0.21279190 1.13513663 -12.192078 65.038538
    Unten rechts KachelX + 1 61098 KachelY + 1 34077 -0.21274396 1.13513663 -12.189331 65.038538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13515686-1.13513663) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dl = 128.885329999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13515686-1.13513663) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dr = 128.885329999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21279190--0.21274396) × cos(1.13515686) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421990228445362 × 6371000     		do = 128.886677795684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21279190--0.21274396) × cos(1.13513663) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422008568884676 × 6371000     		du = 128.892279437933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13515686)-sin(1.13513663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421990228445362-0.422008568884676)×R²
    abs(-0.21274396--0.21279190)×1.83404393142017e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83404393142017e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83404393142017e-05×40589641000000     		ar = 16611.9629854787m²