Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61094 / 41224
↖ ↑ ↗
← N 55.366625°
W 12.200317°		 ← 173.58 m → N 55.366625°
W 12.197571°		 →
↑
173.55 m
↓
↑
173.55 m
↓
N 55.365064°
W 12.200317°		 ← 173.59 m →
30 125 m²		 N 55.365064°
W 12.197571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466114044189453 y=0.314517974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466114044189453 × 217)
    floor (0.466114044189453 × 131072)
    floor (61094.5)     		tx = 61094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314517974853516 × 217)
    floor (0.314517974853516 × 131072)
    floor (41224.5)     		ty = 41224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61094 / 41224 ti = "17/61094/41224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61094/41224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61094 ÷ 217
    61094 ÷ 131072     		x = 0.466110229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41224 ÷ 217
    41224 ÷ 131072     		y = 0.31451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466110229492188 × 2 - 1) × π
    -0.067779541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21293571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31451416015625 × 2 - 1) × π
    0.3709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16544190356281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21293571} λ = -0.21293571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16544190356281))-π/2
    2×atan(3.20733990501742)-π/2
    2×1.26856311305626-π/2
    2.53712622611252-1.57079632675     		φ = 0.96632990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21293571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.200317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96632990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.366625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61094 KachelY 41224 -0.21293571 0.96632990 -12.200317 55.366625
    Oben rechts KachelX + 1 61095 KachelY 41224 -0.21288777 0.96632990 -12.197571 55.366625
    Unten links KachelX 61094 KachelY + 1 41225 -0.21293571 0.96630266 -12.200317 55.365064
    Unten rechts KachelX + 1 61095 KachelY + 1 41225 -0.21288777 0.96630266 -12.197571 55.365064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96632990-0.96630266) × R
    2.72399999999839e-05 × 6371000     		dl = 173.546039999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96632990-0.96630266) × R
    2.72399999999839e-05 × 6371000     		dr = 173.546039999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21293571--0.21288777) × cos(0.96632990) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568323130235903 × 6371000     		do = 173.580512611404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21293571--0.21288777) × cos(0.96630266) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568345543245689 × 6371000     		du = 173.587358121503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96632990)-sin(0.96630266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568323130235903-0.568345543245689)×R²
    abs(-0.21288777--0.21293571)×2.24130097858932e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24130097858932e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24130097858932e-05×40589641000000     		ar = 30124.804592301m²