Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61093 / 83931
↖ ↑ ↗
← S 45.017244°
W 12.203064°		 ← 215.90 m → S 45.017244°
W 12.200317°		 →
↑
215.91 m
↓
↑
215.91 m
↓
S 45.019185°
W 12.203064°		 ← 215.90 m →
46 616 m²		 S 45.019185°
W 12.200317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466106414794922 y=0.640346527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466106414794922 × 217)
    floor (0.466106414794922 × 131072)
    floor (61093.5)     		tx = 61093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640346527099609 × 217)
    floor (0.640346527099609 × 131072)
    floor (83931.5)     		ty = 83931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61093 / 83931 ti = "17/61093/83931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61093/83931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61093 ÷ 217
    61093 ÷ 131072     		x = 0.466102600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83931 ÷ 217
    83931 ÷ 131072     		y = 0.640342712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466102600097656 × 2 - 1) × π
    -0.0677947998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21298365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640342712402344 × 2 - 1) × π
    -0.280685424804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.881799268510933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21298365} λ = -0.21298365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881799268510933))-π/2
    2×atan(0.414037276849514)-π/2
    2×0.392548603214721-π/2
    0.785097206429443-1.57079632675     		φ = -0.78569912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21298365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.203064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78569912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.017244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61093 KachelY 83931 -0.21298365 -0.78569912 -12.203064 -45.017244
    Oben rechts KachelX + 1 61094 KachelY 83931 -0.21293571 -0.78569912 -12.200317 -45.017244
    Unten links KachelX 61093 KachelY + 1 83932 -0.21298365 -0.78573301 -12.203064 -45.019185
    Unten rechts KachelX + 1 61094 KachelY + 1 83932 -0.21293571 -0.78573301 -12.200317 -45.019185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78569912--0.78573301) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dl = 215.913189999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78569912--0.78573301) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dr = 215.913189999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21298365--0.21293571) × cos(-0.78569912) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.706893940712198 × 6371000     		do = 215.903604943523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21298365--0.21293571) × cos(-0.78573301) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.70686996924645 × 6371000     		du = 215.896283440858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78569912)-sin(-0.78573301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706893940712198-0.70686996924645)×R²
    abs(-0.21293571--0.21298365)×2.39714657480627e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39714657480627e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39714657480627e-05×40589641000000     		ar = 46615.6456757393m²