Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61092 / 83044
↖ ↑ ↗
← S 43.269206°
W 12.205810°		 ← 222.35 m → S 43.269206°
W 12.203064°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
S 43.271206°
W 12.205810°		 ← 222.34 m →
49 452 m²		 S 43.271206°
W 12.203064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466098785400391 y=0.633579254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466098785400391 × 217)
    floor (0.466098785400391 × 131072)
    floor (61092.5)     		tx = 61092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633579254150391 × 217)
    floor (0.633579254150391 × 131072)
    floor (83044.5)     		ty = 83044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61092 / 83044 ti = "17/61092/83044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61092/83044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61092 ÷ 217
    61092 ÷ 131072     		x = 0.466094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83044 ÷ 217
    83044 ÷ 131072     		y = 0.633575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.06781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21303158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.26715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.839279238547943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21303158} λ = -0.21303158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839279238547943))-π/2
    2×atan(0.432021795895937)-π/2
    2×0.407803106520098-π/2
    0.815606213040196-1.57079632675     		φ = -0.75519011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21303158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.205810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75519011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.269206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61092 KachelY 83044 -0.21303158 -0.75519011 -12.205810 -43.269206
    Oben rechts KachelX + 1 61093 KachelY 83044 -0.21298365 -0.75519011 -12.203064 -43.269206
    Unten links KachelX 61092 KachelY + 1 83045 -0.21303158 -0.75522502 -12.205810 -43.271206
    Unten rechts KachelX + 1 61093 KachelY + 1 83045 -0.21298365 -0.75522502 -12.203064 -43.271206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75519011--0.75522502) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75519011--0.75522502) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21303158--0.21298365) × cos(-0.75519011) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.728141249794147 × 6371000     		do = 222.346690163885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21303158--0.21298365) × cos(-0.75522502) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.728117321090117 × 6371000     		du = 222.339383246247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75519011)-sin(-0.75522502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728141249794147-0.728117321090117)×R²
    abs(-0.21298365--0.21303158)×2.39287040303404e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39287040303404e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39287040303404e-05×40589641000000     		ar = 49451.6727709421m²