Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61091 / 41121
↖ ↑ ↗
← N 55.527076°
W 12.208557°		 ← 172.88 m → N 55.527076°
W 12.205810°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
N 55.525522°
W 12.208557°		 ← 172.88 m →
29 881 m²		 N 55.525522°
W 12.205810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466091156005859 y=0.313732147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466091156005859 × 217)
    floor (0.466091156005859 × 131072)
    floor (61091.5)     		tx = 61091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313732147216797 × 217)
    floor (0.313732147216797 × 131072)
    floor (41121.5)     		ty = 41121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61091 / 41121 ti = "17/61091/41121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61091/41121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61091 ÷ 217
    61091 ÷ 131072     		x = 0.466087341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41121 ÷ 217
    41121 ÷ 131072     		y = 0.313728332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466087341308594 × 2 - 1) × π
    -0.0678253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21307952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313728332519531 × 2 - 1) × π
    0.372543334960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.17037940422367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21307952} λ = -0.21307952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17037940422367))-π/2
    2×atan(3.22321530807252)-π/2
    2×1.26996331298383-π/2
    2.53992662596765-1.57079632675     		φ = 0.96913030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21307952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.208557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96913030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.527076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61091 KachelY 41121 -0.21307952 0.96913030 -12.208557 55.527076
    Oben rechts KachelX + 1 61092 KachelY 41121 -0.21303158 0.96913030 -12.205810 55.527076
    Unten links KachelX 61091 KachelY + 1 41122 -0.21307952 0.96910317 -12.208557 55.525522
    Unten rechts KachelX + 1 61092 KachelY + 1 41122 -0.21303158 0.96910317 -12.205810 55.525522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96913030-0.96910317) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dl = 172.845229999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96913030-0.96910317) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dr = 172.845229999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21307952--0.21303158) × cos(0.96913030) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56601672038473 × 6371000     		do = 172.876075675866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21307952--0.21303158) × cos(0.96910317) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566039085979144 × 6371000     		du = 172.88290670409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96913030)-sin(0.96910317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56601672038473-0.566039085979144)×R²
    abs(-0.21303158--0.21307952)×2.2365594413265e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2365594413265e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2365594413265e-05×40589641000000     		ar = 29881.3954187471m²