Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61090 / 13601
↖ ↑ ↗
← N 71.909182°
E155.577392°		 ← 189.68 m → N 71.909182°
E155.582886°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
N 71.907476°
E155.577392°		 ← 189.70 m →
35 978 m²		 N 71.907476°
E155.582886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932167053222656 y=0.207542419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932167053222656 × 216)
    floor (0.932167053222656 × 65536)
    floor (61090.5)     		tx = 61090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207542419433594 × 216)
    floor (0.207542419433594 × 65536)
    floor (13601.5)     		ty = 13601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61090 / 13601 ti = "16/61090/13601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61090/13601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61090 ÷ 216
    61090 ÷ 65536     		x = 0.932159423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13601 ÷ 216
    13601 ÷ 65536     		y = 0.207534790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932159423828125 × 2 - 1) × π
    0.86431884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71533774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207534790039062 × 2 - 1) × π
    0.584930419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83761311003523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71533774} λ = 2.71533774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83761311003523))-π/2
    2×atan(6.28152703923285)-π/2
    2×1.41292415924047-π/2
    2.82584831848094-1.57079632675     		φ = 1.25505199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71533774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.577392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25505199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.909182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61090 KachelY 13601 2.71533774 1.25505199 155.577392 71.909182
    Oben rechts KachelX + 1 61091 KachelY 13601 2.71543362 1.25505199 155.582886 71.909182
    Unten links KachelX 61090 KachelY + 1 13602 2.71533774 1.25502222 155.577392 71.907476
    Unten rechts KachelX + 1 61091 KachelY + 1 13602 2.71543362 1.25502222 155.582886 71.907476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25505199-1.25502222) × R
    2.9769999999818e-05 × 6371000     		dl = 189.66466999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25505199-1.25502222) × R
    2.9769999999818e-05 × 6371000     		dr = 189.66466999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71533774-2.71543362) × cos(1.25505199) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.310524098066602 × 6371000     		do = 189.684104880403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71533774-2.71543362) × cos(1.25502222) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.310552396264162 × 6371000     		du = 189.701390876264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25505199)-sin(1.25502222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310524098066602-0.310552396264162)×R²
    abs(2.71543362-2.71533774)×2.82981975598395e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.82981975598395e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.82981975598395e-05×40589641000000     		ar = 35978.0124301752m²