Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61089 / 13602
↖ ↑ ↗
← N 71.907476°
E155.571900°		 ← 189.68 m → N 71.907476°
E155.577392°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
N 71.905770°
E155.571900°		 ← 189.70 m →
35 990 m²		 N 71.905770°
E155.577392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932151794433594 y=0.207557678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932151794433594 × 216)
    floor (0.932151794433594 × 65536)
    floor (61089.5)     		tx = 61089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207557678222656 × 216)
    floor (0.207557678222656 × 65536)
    floor (13602.5)     		ty = 13602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61089 / 13602 ti = "16/61089/13602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61089/13602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61089 ÷ 216
    61089 ÷ 65536     		x = 0.932144165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13602 ÷ 216
    13602 ÷ 65536     		y = 0.207550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932144165039062 × 2 - 1) × π
    0.864288330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71524187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207550048828125 × 2 - 1) × π
    0.58489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83751723623599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71524187} λ = 2.71524187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83751723623599))-π/2
    2×atan(6.28092483423887)-π/2
    2×1.41290927299972-π/2
    2.82581854599943-1.57079632675     		φ = 1.25502222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71524187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.571900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25502222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.907476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61089 KachelY 13602 2.71524187 1.25502222 155.571900 71.907476
    Oben rechts KachelX + 1 61090 KachelY 13602 2.71533774 1.25502222 155.577392 71.907476
    Unten links KachelX 61089 KachelY + 1 13603 2.71524187 1.25499244 155.571900 71.905770
    Unten rechts KachelX + 1 61090 KachelY + 1 13603 2.71533774 1.25499244 155.577392 71.905770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25502222-1.25499244) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25502222-1.25499244) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71524187-2.71533774) × cos(1.25502222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310552396264162 × 6371000     		do = 189.68160558234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71524187-2.71533774) × cos(1.25499244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310580703691964 × 6371000     		du = 189.698895413041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25502222)-sin(1.25499244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310552396264162-0.310580703691964)×R²
    abs(2.71533774-2.71524187)×2.83074278021878e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.83074278021878e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.83074278021878e-05×40589641000000     		ar = 35989.6239313803m²