Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61087 / 41122
↖ ↑ ↗
← N 55.525522°
W 12.219544°		 ← 172.88 m → N 55.525522°
W 12.216797°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
N 55.523967°
W 12.219544°		 ← 172.89 m →
29 894 m²		 N 55.523967°
W 12.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466060638427734 y=0.313739776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466060638427734 × 217)
    floor (0.466060638427734 × 131072)
    floor (61087.5)     		tx = 61087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313739776611328 × 217)
    floor (0.313739776611328 × 131072)
    floor (41122.5)     		ty = 41122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61087 / 41122 ti = "17/61087/41122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61087/41122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61087 ÷ 217
    61087 ÷ 131072     		x = 0.466056823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41122 ÷ 217
    41122 ÷ 131072     		y = 0.313735961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466056823730469 × 2 - 1) × π
    -0.0678863525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21327127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313735961914062 × 2 - 1) × π
    0.372528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17033146732405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21327127} λ = -0.21327127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17033146732405))-π/2
    2×atan(3.22306080082717)-π/2
    2×1.26994974617239-π/2
    2.53989949234477-1.57079632675     		φ = 0.96910317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21327127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.219544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96910317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.525522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61087 KachelY 41122 -0.21327127 0.96910317 -12.219544 55.525522
    Oben rechts KachelX + 1 61088 KachelY 41122 -0.21322333 0.96910317 -12.216797 55.525522
    Unten links KachelX 61087 KachelY + 1 41123 -0.21327127 0.96907603 -12.219544 55.523967
    Unten rechts KachelX + 1 61088 KachelY + 1 41123 -0.21322333 0.96907603 -12.216797 55.523967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96910317-0.96907603) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dl = 172.908940000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96910317-0.96907603) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dr = 172.908940000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21327127--0.21322333) × cos(0.96910317) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566039085979144 × 6371000     		do = 172.88290670419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21327127--0.21322333) × cos(0.96907603) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566061459400562 × 6371000     		du = 172.889740122983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96910317)-sin(0.96907603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566039085979144-0.566061459400562)×R²
    abs(-0.21322333--0.21327127)×2.23734214180871e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23734214180871e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23734214180871e-05×40589641000000     		ar = 29893.5909237142m²