Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61086 / 57850
↖ ↑ ↗
← S 79.681282°
E155.555420°		 ← 109.41 m → S 79.681282°
E155.560913°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
S 79.682266°
E155.555420°		 ← 109.40 m →
11 974 m²		 S 79.682266°
E155.560913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932106018066406 y=0.882728576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932106018066406 × 216)
    floor (0.932106018066406 × 65536)
    floor (61086.5)     		tx = 61086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882728576660156 × 216)
    floor (0.882728576660156 × 65536)
    floor (57850.5)     		ty = 57850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61086 / 57850 ti = "16/61086/57850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61086/57850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61086 ÷ 216
    61086 ÷ 65536     		x = 0.932098388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57850 ÷ 216
    57850 ÷ 65536     		y = 0.882720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932098388671875 × 2 - 1) × π
    0.86419677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71495425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.76544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4047066325405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71495425} λ = 2.71495425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4047066325405))-π/2
    2×atan(0.0902919804536178)-π/2
    2×0.090047801046978-π/2
    0.180095602093956-1.57079632675     		φ = -1.39070072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71495425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.555420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39070072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.681282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61086 KachelY 57850 2.71495425 -1.39070072 155.555420 -79.681282
    Oben rechts KachelX + 1 61087 KachelY 57850 2.71505012 -1.39070072 155.560913 -79.681282
    Unten links KachelX 61086 KachelY + 1 57851 2.71495425 -1.39071790 155.555420 -79.682266
    Unten rechts KachelX + 1 61087 KachelY + 1 57851 2.71505012 -1.39071790 155.560913 -79.682266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39070072--1.39071790) × R
    1.71800000001721e-05 × 6371000     		dl = 109.453780001096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39070072--1.39071790) × R
    1.71800000001721e-05 × 6371000     		dr = 109.453780001096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71495425-2.71505012) × cos(-1.39070072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179123634749604 × 6371000     		do = 109.406525423002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71495425-2.71505012) × cos(-1.39071790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179106732582665 × 6371000     		du = 109.39620178615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39070072)-sin(-1.39071790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179123634749604-0.179106732582665)×R²
    abs(2.71505012-2.71495425)×1.69021669380598e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69021669380598e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69021669380598e-05×40589641000000     		ar = 11974.3927841478m²