Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61085 / 34334
↖ ↑ ↗
← N 64.738985°
W 12.225037°		 ← 130.34 m → N 64.738985°
W 12.222290°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
N 64.737814°
W 12.225037°		 ← 130.34 m →
16 982 m²		 N 64.737814°
W 12.222290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466045379638672 y=0.261951446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466045379638672 × 217)
    floor (0.466045379638672 × 131072)
    floor (61085.5)     		tx = 61085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261951446533203 × 217)
    floor (0.261951446533203 × 131072)
    floor (34334.5)     		ty = 34334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61085 / 34334 ti = "17/61085/34334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61085/34334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61085 ÷ 217
    61085 ÷ 131072     		x = 0.466041564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34334 ÷ 217
    34334 ÷ 131072     		y = 0.261947631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466041564941406 × 2 - 1) × π
    -0.0679168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21336714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261947631835938 × 2 - 1) × π
    0.476104736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49572714194499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21336714} λ = -0.21336714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49572714194499))-π/2
    2×atan(4.4625803026926)-π/2
    2×1.35035239051028-π/2
    2.70070478102056-1.57079632675     		φ = 1.12990845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21336714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.225037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12990845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.738985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61085 KachelY 34334 -0.21336714 1.12990845 -12.225037 64.738985
    Oben rechts KachelX + 1 61086 KachelY 34334 -0.21331920 1.12990845 -12.222290 64.738985
    Unten links KachelX 61085 KachelY + 1 34335 -0.21336714 1.12988800 -12.225037 64.737814
    Unten rechts KachelX + 1 61086 KachelY + 1 34335 -0.21331920 1.12988800 -12.222290 64.737814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12990845-1.12988800) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dl = 130.286950000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12990845-1.12988800) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dr = 130.286950000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21336714--0.21331920) × cos(1.12990845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.426742605077975 × 6371000     		do = 130.338175945534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21336714--0.21331920) × cos(1.12988800) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.426761099419146 × 6371000     		du = 130.343824593372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12990845)-sin(1.12988800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426742605077975-0.426761099419146)×R²
    abs(-0.21331920--0.21336714)×1.84943411701832e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84943411701832e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84943411701832e-05×40589641000000     		ar = 16981.7313856738m²