Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61084 / 83108
↖ ↑ ↗
← S 43.397065°
W 12.227783°		 ← 221.93 m → S 43.397065°
W 12.225037°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
S 43.399061°
W 12.227783°		 ← 221.92 m →
49 245 m²		 S 43.399061°
W 12.225037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466037750244141 y=0.634067535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466037750244141 × 217)
    floor (0.466037750244141 × 131072)
    floor (61084.5)     		tx = 61084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634067535400391 × 217)
    floor (0.634067535400391 × 131072)
    floor (83108.5)     		ty = 83108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61084 / 83108 ti = "17/61084/83108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61084/83108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61084 ÷ 217
    61084 ÷ 131072     		x = 0.466033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83108 ÷ 217
    83108 ÷ 131072     		y = 0.634063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.06793212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21341508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.26812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.842347200123627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21341508} λ = -0.21341508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842347200123627))-π/2
    2×atan(0.43069840072706)-π/2
    2×0.406687326341736-π/2
    0.813374652683471-1.57079632675     		φ = -0.75742167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21341508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.227783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75742167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.397065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61084 KachelY 83108 -0.21341508 -0.75742167 -12.227783 -43.397065
    Oben rechts KachelX + 1 61085 KachelY 83108 -0.21336714 -0.75742167 -12.225037 -43.397065
    Unten links KachelX 61084 KachelY + 1 83109 -0.21341508 -0.75745650 -12.227783 -43.399061
    Unten rechts KachelX + 1 61085 KachelY + 1 83109 -0.21336714 -0.75745650 -12.225037 -43.399061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75742167--0.75745650) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dl = 221.901929999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75742167--0.75745650) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dr = 221.901929999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21341508--0.21336714) × cos(-0.75742167) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726609866326579 × 6371000     		do = 221.925356114079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21341508--0.21336714) × cos(-0.75745650) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726585935924218 × 6371000     		du = 221.91804715323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75742167)-sin(-0.75745650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726609866326579-0.726585935924218)×R²
    abs(-0.21336714--0.21341508)×2.39304023611497e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39304023611497e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39304023611497e-05×40589641000000     		ar = 49244.8539062616m²