Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61084 / 57851
↖ ↑ ↗
← S 79.682266°
E155.544434°		 ← 109.40 m → S 79.682266°
E155.549927°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 79.683250°
E155.544434°		 ← 109.39 m →
11 966 m²		 S 79.683250°
E155.549927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932075500488281 y=0.882743835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932075500488281 × 216)
    floor (0.932075500488281 × 65536)
    floor (61084.5)     		tx = 61084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882743835449219 × 216)
    floor (0.882743835449219 × 65536)
    floor (57851.5)     		ty = 57851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61084 / 57851 ti = "16/61084/57851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61084/57851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61084 ÷ 216
    61084 ÷ 65536     		x = 0.93206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57851 ÷ 216
    57851 ÷ 65536     		y = 0.882736206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93206787109375 × 2 - 1) × π
    0.8641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71476250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882736206054688 × 2 - 1) × π
    -0.765472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40480250633974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71476250} λ = 2.71476250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40480250633974))-π/2
    2×atan(0.0902833242333698)-π/2
    2×0.0900392148204481-π/2
    0.180078429640896-1.57079632675     		φ = -1.39071790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71476250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39071790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.682266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61084 KachelY 57851 2.71476250 -1.39071790 155.544434 -79.682266
    Oben rechts KachelX + 1 61085 KachelY 57851 2.71485837 -1.39071790 155.549927 -79.682266
    Unten links KachelX 61084 KachelY + 1 57852 2.71476250 -1.39073507 155.544434 -79.683250
    Unten rechts KachelX + 1 61085 KachelY + 1 57852 2.71485837 -1.39073507 155.549927 -79.683250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39071790--1.39073507) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39071790--1.39073507) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71476250-2.71485837) × cos(-1.39071790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179106732582665 × 6371000     		do = 109.39620178615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71476250-2.71485837) × cos(-1.39073507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179089840201191 × 6371000     		du = 109.385884126139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39071790)-sin(-1.39073507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179106732582665-0.179089840201191)×R²
    abs(2.71485837-2.71476250)×1.68923814744537e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68923814744537e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68923814744537e-05×40589641000000     		ar = 11966.2938468025m²