Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61082 / 57951
↖ ↑ ↗
← S 79.780190°
E155.533447°		 ← 108.38 m → S 79.780190°
E155.538941°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
S 79.781164°
E155.533447°		 ← 108.37 m →
11 745 m²		 S 79.781164°
E155.538941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932044982910156 y=0.884269714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932044982910156 × 216)
    floor (0.932044982910156 × 65536)
    floor (61082.5)     		tx = 61082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884269714355469 × 216)
    floor (0.884269714355469 × 65536)
    floor (57951.5)     		ty = 57951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61082 / 57951 ti = "16/61082/57951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61082/57951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61082 ÷ 216
    61082 ÷ 65536     		x = 0.932037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57951 ÷ 216
    57951 ÷ 65536     		y = 0.884262084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932037353515625 × 2 - 1) × π
    0.86407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71457075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884262084960938 × 2 - 1) × π
    -0.768524169921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41438988626375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71457075} λ = 2.71457075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41438988626375))-π/2
    2×atan(0.089421879799179)-π/2
    2×0.0891846695997797-π/2
    0.178369339199559-1.57079632675     		φ = -1.39242699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71457075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.533447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39242699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.780190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61082 KachelY 57951 2.71457075 -1.39242699 155.533447 -79.780190
    Oben rechts KachelX + 1 61083 KachelY 57951 2.71466663 -1.39242699 155.538941 -79.780190
    Unten links KachelX 61082 KachelY + 1 57952 2.71457075 -1.39244400 155.533447 -79.781164
    Unten rechts KachelX + 1 61083 KachelY + 1 57952 2.71466663 -1.39244400 155.538941 -79.781164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39242699--1.39244400) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dl = 108.370710000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39242699--1.39244400) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dr = 108.370710000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71457075-2.71466663) × cos(-1.39242699) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17742501840206 × 6371000     		do = 108.380335079854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71457075-2.71466663) × cos(-1.39244400) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177408278251583 × 6371000     		du = 108.37010933416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39242699)-sin(-1.39244400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17742501840206-0.177408278251583)×R²
    abs(2.71466663-2.71457075)×1.67401504768683e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67401504768683e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67401504768683e-05×40589641000000     		ar = 11744.6997774038m²