Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61081 / 57847
↖ ↑ ↗
← S 79.678330°
E155.527954°		 ← 109.44 m → S 79.678330°
E155.533447°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 79.679314°
E155.527954°		 ← 109.43 m →
11 971 m²		 S 79.679314°
E155.533447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932029724121094 y=0.882682800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932029724121094 × 216)
    floor (0.932029724121094 × 65536)
    floor (61081.5)     		tx = 61081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882682800292969 × 216)
    floor (0.882682800292969 × 65536)
    floor (57847.5)     		ty = 57847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61081 / 57847 ti = "16/61081/57847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61081/57847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61081 ÷ 216
    61081 ÷ 65536     		x = 0.932022094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57847 ÷ 216
    57847 ÷ 65536     		y = 0.882675170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932022094726562 × 2 - 1) × π
    0.864044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71447488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882675170898438 × 2 - 1) × π
    -0.765350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40441901114278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71447488} λ = 2.71447488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40441901114278))-π/2
    2×atan(0.0903179540943472)-π/2
    2×0.0900735645863742-π/2
    0.180147129172748-1.57079632675     		φ = -1.39064920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71447488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.527954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39064920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.678330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61081 KachelY 57847 2.71447488 -1.39064920 155.527954 -79.678330
    Oben rechts KachelX + 1 61082 KachelY 57847 2.71457075 -1.39064920 155.533447 -79.678330
    Unten links KachelX 61081 KachelY + 1 57848 2.71447488 -1.39066637 155.527954 -79.679314
    Unten rechts KachelX + 1 61082 KachelY + 1 57848 2.71457075 -1.39066637 155.533447 -79.679314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39064920--1.39066637) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39064920--1.39066637) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71447488-2.71457075) × cos(-1.39064920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179174321256838 × 6371000     		do = 109.437484121725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71447488-2.71457075) × cos(-1.39066637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179157429086664 × 6371000     		du = 109.427166590774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39064920)-sin(-1.39066637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179174321256838-0.179157429086664)×R²
    abs(2.71457075-2.71447488)×1.68921701740044e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68921701740044e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68921701740044e-05×40589641000000     		ar = 11970.8097314932m²