Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61081 / 41181
↖ ↑ ↗
← N 55.433688°
W 12.236023°		 ← 173.29 m → N 55.433688°
W 12.233276°		 →
↑
173.23 m
↓
↑
173.23 m
↓
N 55.432131°
W 12.236023°		 ← 173.29 m →
30 019 m²		 N 55.432131°
W 12.233276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466014862060547 y=0.314189910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466014862060547 × 217)
    floor (0.466014862060547 × 131072)
    floor (61081.5)     		tx = 61081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314189910888672 × 217)
    floor (0.314189910888672 × 131072)
    floor (41181.5)     		ty = 41181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61081 / 41181 ti = "17/61081/41181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61081/41181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61081 ÷ 217
    61081 ÷ 131072     		x = 0.466011047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41181 ÷ 217
    41181 ÷ 131072     		y = 0.314186096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466011047363281 × 2 - 1) × π
    -0.0679779052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21355889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314186096191406 × 2 - 1) × π
    0.371627807617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.16750319024647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21355889} λ = -0.21355889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16750319024647))-π/2
    2×atan(3.21395797057552)-π/2
    2×1.26914835493672-π/2
    2.53829670987344-1.57079632675     		φ = 0.96750038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21355889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.236023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96750038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.433688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61081 KachelY 41181 -0.21355889 0.96750038 -12.236023 55.433688
    Oben rechts KachelX + 1 61082 KachelY 41181 -0.21351095 0.96750038 -12.233276 55.433688
    Unten links KachelX 61081 KachelY + 1 41182 -0.21355889 0.96747319 -12.236023 55.432131
    Unten rechts KachelX + 1 61082 KachelY + 1 41182 -0.21351095 0.96747319 -12.233276 55.432131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96750038-0.96747319) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dl = 173.227490000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96750038-0.96747319) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dr = 173.227490000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21355889--0.21351095) × cos(0.96750038) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567359663816848 × 6371000     		do = 173.286245167399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21355889--0.21351095) × cos(0.96747319) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567382053759244 × 6371000     		du = 173.293083632124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96750038)-sin(0.96747319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567359663816848-0.567382053759244)×R²
    abs(-0.21351095--0.21355889)×2.23899423965612e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23899423965612e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23899423965612e-05×40589641000000     		ar = 30018.5336090011m²