Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61080 / 34194
↖ ↑ ↗
← N 64.902580°
W 12.238769°		 ← 129.52 m → N 64.902580°
W 12.236023°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
N 64.901415°
W 12.238769°		 ← 129.53 m →
16 785 m²		 N 64.901415°
W 12.236023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466007232666016 y=0.260883331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466007232666016 × 217)
    floor (0.466007232666016 × 131072)
    floor (61080.5)     		tx = 61080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260883331298828 × 217)
    floor (0.260883331298828 × 131072)
    floor (34194.5)     		ty = 34194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61080 / 34194 ti = "17/61080/34194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61080/34194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61080 ÷ 217
    61080 ÷ 131072     		x = 0.46600341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34194 ÷ 217
    34194 ÷ 131072     		y = 0.260879516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21360682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260879516601562 × 2 - 1) × π
    0.478240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5024383078918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21360682} λ = -0.21360682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5024383078918))-π/2
    2×atan(4.49263014159636)-π/2
    2×1.35178002195408-π/2
    2.70356004390816-1.57079632675     		φ = 1.13276372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21360682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13276372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.902580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61080 KachelY 34194 -0.21360682 1.13276372 -12.238769 64.902580
    Oben rechts KachelX + 1 61081 KachelY 34194 -0.21355889 1.13276372 -12.236023 64.902580
    Unten links KachelX 61080 KachelY + 1 34195 -0.21360682 1.13274338 -12.238769 64.901415
    Unten rechts KachelX + 1 61081 KachelY + 1 34195 -0.21355889 1.13274338 -12.236023 64.901415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13276372-1.13274338) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13276372-1.13274338) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21360682--0.21355889) × cos(1.13276372) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424158639611712 × 6371000     		do = 129.521943233875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21360682--0.21355889) × cos(1.13274338) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424177059181899 × 6371000     		du = 129.527567871219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13276372)-sin(1.13274338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424158639611712-0.424177059181899)×R²
    abs(-0.21355889--0.21360682)×1.84195701871115e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84195701871115e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84195701871115e-05×40589641000000     		ar = 16784.6131071439m²