Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6108 / 6330
↖ ↑ ↗
← S 69.565226°
E 88.417969°		 ← 1 706.07 m → S 69.565226°
E 88.461914°		 →
↑
1 705.45 m
↓
↑
1 705.45 m
↓
S 69.580564°
E 88.417969°		 ← 1 704.85 m →
2 908 584 m²		 S 69.580564°
E 88.461914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74566650390625 y=0.77276611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74566650390625 × 213)
    floor (0.74566650390625 × 8192)
    floor (6108.5)     		tx = 6108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77276611328125 × 213)
    floor (0.77276611328125 × 8192)
    floor (6330.5)     		ty = 6330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6108 / 6330 ti = "13/6108/6330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6108/6330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6108 ÷ 213
    6108 ÷ 8192     		x = 0.74560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6330 ÷ 213
    6330 ÷ 8192     		y = 0.772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74560546875 × 2 - 1) × π
    0.4912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54318467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.54541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71345654001929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54318467} λ = 1.54318467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71345654001929))-π/2
    2×atan(0.180241701985312)-π/2
    2×0.178327044968669-π/2
    0.356654089937337-1.57079632675     		φ = -1.21414224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54318467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21414224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6108 KachelY 6330 1.54318467 -1.21414224 88.417969 -69.565226
    Oben rechts KachelX + 1 6109 KachelY 6330 1.54395166 -1.21414224 88.461914 -69.565226
    Unten links KachelX 6108 KachelY + 1 6331 1.54318467 -1.21440993 88.417969 -69.580564
    Unten rechts KachelX + 1 6109 KachelY + 1 6331 1.54395166 -1.21440993 88.461914 -69.580564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21414224--1.21440993) × R
    0.000267690000000043 × 6371000     		dl = 1705.45299000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21414224--1.21440993) × R
    0.000267690000000043 × 6371000     		dr = 1705.45299000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54318467-1.54395166) × cos(-1.21414224) × R
    0.000766990000000023 × 0.349140837699934 × 6371000     		do = 1706.07436068576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54318467-1.54395166) × cos(-1.21440993) × R
    0.000766990000000023 × 0.348889980855207 × 6371000     		du = 1704.84855039725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21414224)-sin(-1.21440993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349140837699934-0.348889980855207)×R²
    abs(1.54395166-1.54318467)×0.000250856844727088×R²
    0.000766990000000023×0.000250856844727088×6371000²
    0.000766990000000023×0.000250856844727088×40589641000000     		ar = 2908584.35605122m²