Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61078 / 40821
↖ ↑ ↗
← N 55.990700°
W 12.244263°		 ← 170.83 m → N 55.990700°
W 12.241516°		 →
↑
170.81 m
↓
↑
170.81 m
↓
N 55.989164°
W 12.244263°		 ← 170.84 m →
29 180 m²		 N 55.989164°
W 12.241516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465991973876953 y=0.311443328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465991973876953 × 217)
    floor (0.465991973876953 × 131072)
    floor (61078.5)     		tx = 61078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311443328857422 × 217)
    floor (0.311443328857422 × 131072)
    floor (40821.5)     		ty = 40821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61078 / 40821 ti = "17/61078/40821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61078/40821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61078 ÷ 217
    61078 ÷ 131072     		x = 0.465988159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40821 ÷ 217
    40821 ÷ 131072     		y = 0.311439514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465988159179688 × 2 - 1) × π
    -0.068023681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21370270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311439514160156 × 2 - 1) × π
    0.377120971679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.18476047410969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21370270} λ = -0.21370270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18476047410969))-π/2
    2×atan(3.26990350110961)-π/2
    2×1.27400920071528-π/2
    2.54801840143055-1.57079632675     		φ = 0.97722207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21370270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.244263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97722207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.990700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61078 KachelY 40821 -0.21370270 0.97722207 -12.244263 55.990700
    Oben rechts KachelX + 1 61079 KachelY 40821 -0.21365476 0.97722207 -12.241516 55.990700
    Unten links KachelX 61078 KachelY + 1 40822 -0.21370270 0.97719526 -12.244263 55.989164
    Unten rechts KachelX + 1 61079 KachelY + 1 40822 -0.21365476 0.97719526 -12.241516 55.989164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97722207-0.97719526) × R
    2.68100000000437e-05 × 6371000     		dl = 170.806510000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97722207-0.97719526) × R
    2.68100000000437e-05 × 6371000     		dr = 170.806510000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21370270--0.21365476) × cos(0.97722207) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559327458118507 × 6371000     		do = 170.833002798151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21370270--0.21365476) × cos(0.97719526) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559349681981154 × 6371000     		du = 170.839790537845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97722207)-sin(0.97719526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559327458118507-0.559349681981154)×R²
    abs(-0.21365476--0.21370270)×2.22238626471638e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22238626471638e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22238626471638e-05×40589641000000     		ar = 29179.9686977002m²