Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61078 / 34206
↖ ↑ ↗
← N 64.888597°
W 12.244263°		 ← 129.62 m → N 64.888597°
W 12.241516°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
N 64.887431°
W 12.244263°		 ← 129.62 m →
16 797 m²		 N 64.887431°
W 12.241516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465991973876953 y=0.260974884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465991973876953 × 217)
    floor (0.465991973876953 × 131072)
    floor (61078.5)     		tx = 61078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260974884033203 × 217)
    floor (0.260974884033203 × 131072)
    floor (34206.5)     		ty = 34206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61078 / 34206 ti = "17/61078/34206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61078/34206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61078 ÷ 217
    61078 ÷ 131072     		x = 0.465988159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34206 ÷ 217
    34206 ÷ 131072     		y = 0.260971069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465988159179688 × 2 - 1) × π
    -0.068023681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21370270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260971069335938 × 2 - 1) × π
    0.478057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50186306509636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21370270} λ = -0.21370270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50186306509636))-π/2
    2×atan(4.49004653164757)-π/2
    2×1.35165799307209-π/2
    2.70331598614418-1.57079632675     		φ = 1.13251966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21370270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.244263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13251966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.888597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61078 KachelY 34206 -0.21370270 1.13251966 -12.244263 64.888597
    Oben rechts KachelX + 1 61079 KachelY 34206 -0.21365476 1.13251966 -12.241516 64.888597
    Unten links KachelX 61078 KachelY + 1 34207 -0.21370270 1.13249932 -12.244263 64.887431
    Unten rechts KachelX + 1 61079 KachelY + 1 34207 -0.21365476 1.13249932 -12.241516 64.887431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13251966-1.13249932) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13251966-1.13249932) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21370270--0.21365476) × cos(1.13251966) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424379644760341 × 6371000     		do = 129.616467041854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21370270--0.21365476) × cos(1.13249932) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424398062224334 × 6371000     		du = 129.622092209423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13251966)-sin(1.13249932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424379644760341-0.424398062224334)×R²
    abs(-0.21365476--0.21370270)×1.84174639928369e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84174639928369e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84174639928369e-05×40589641000000     		ar = 16796.8621169161m²