Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61077 / 76531
↖ ↑ ↗
← S 28.890374°
W 12.247010°		 ← 267.41 m → S 28.890374°
W 12.244263°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
S 28.892779°
W 12.247010°		 ← 267.41 m →
71 503 m²		 S 28.892779°
W 12.244263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465984344482422 y=0.583889007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465984344482422 × 217)
    floor (0.465984344482422 × 131072)
    floor (61077.5)     		tx = 61077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583889007568359 × 217)
    floor (0.583889007568359 × 131072)
    floor (76531.5)     		ty = 76531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61077 / 76531 ti = "17/61077/76531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61077/76531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61077 ÷ 217
    61077 ÷ 131072     		x = 0.465980529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76531 ÷ 217
    76531 ÷ 131072     		y = 0.583885192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465980529785156 × 2 - 1) × π
    -0.0680389404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21375064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583885192871094 × 2 - 1) × π
    -0.167770385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.527066211322517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21375064} λ = -0.21375064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527066211322517))-π/2
    2×atan(0.590334347848542)-π/2
    2×0.533282088016139-π/2
    1.06656417603228-1.57079632675     		φ = -0.50423215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21375064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.247010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50423215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.890374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61077 KachelY 76531 -0.21375064 -0.50423215 -12.247010 -28.890374
    Oben rechts KachelX + 1 61078 KachelY 76531 -0.21370270 -0.50423215 -12.244263 -28.890374
    Unten links KachelX 61077 KachelY + 1 76532 -0.21375064 -0.50427412 -12.247010 -28.892779
    Unten rechts KachelX + 1 61078 KachelY + 1 76532 -0.21370270 -0.50427412 -12.244263 -28.892779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50423215--0.50427412) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50423215--0.50427412) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21375064--0.21370270) × cos(-0.50423215) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.875545707934118 × 6371000     		do = 267.414195749581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21375064--0.21370270) × cos(-0.50427412) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.875525429974662 × 6371000     		du = 267.408002338809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50423215)-sin(-0.50427412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875545707934118-0.875525429974662)×R²
    abs(-0.21370270--0.21375064)×2.02779594555835e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.02779594555835e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.02779594555835e-05×40589641000000     		ar = 71503.2864316577m²