Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61075 / 83067
↖ ↑ ↗
← S 43.315186°
W 12.252502°		 ← 222.23 m → S 43.315186°
W 12.249756°		 →
↑
222.22 m
↓
↑
222.22 m
↓
S 43.317185°
W 12.252502°		 ← 222.22 m →
49 382 m²		 S 43.317185°
W 12.249756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465969085693359 y=0.633754730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465969085693359 × 217)
    floor (0.465969085693359 × 131072)
    floor (61075.5)     		tx = 61075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633754730224609 × 217)
    floor (0.633754730224609 × 131072)
    floor (83067.5)     		ty = 83067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61075 / 83067 ti = "17/61075/83067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61075/83067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61075 ÷ 217
    61075 ÷ 131072     		x = 0.465965270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83067 ÷ 217
    83067 ÷ 131072     		y = 0.633750915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465965270996094 × 2 - 1) × π
    -0.0680694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21384651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633750915527344 × 2 - 1) × π
    -0.267501831054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.840381787239204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21384651} λ = -0.21384651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840381787239204))-π/2
    2×atan(0.431545733319586)-π/2
    2×0.407401852609854-π/2
    0.814803705219707-1.57079632675     		φ = -0.75599262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21384651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.252502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75599262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.315186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61075 KachelY 83067 -0.21384651 -0.75599262 -12.252502 -43.315186
    Oben rechts KachelX + 1 61076 KachelY 83067 -0.21379857 -0.75599262 -12.249756 -43.315186
    Unten links KachelX 61075 KachelY + 1 83068 -0.21384651 -0.75602750 -12.252502 -43.317185
    Unten rechts KachelX + 1 61076 KachelY + 1 83068 -0.21379857 -0.75602750 -12.249756 -43.317185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75599262--0.75602750) × R
    3.48799999999594e-05 × 6371000     		dl = 222.220479999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75599262--0.75602750) × R
    3.48799999999594e-05 × 6371000     		dr = 222.220479999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21384651--0.21379857) × cos(-0.75599262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.727590953275179 × 6371000     		do = 222.22500532136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21384651--0.21379857) × cos(-0.75602750) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.727567024760958 × 6371000     		du = 222.217696937197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75599262)-sin(-0.75602750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727590953275179-0.727567024760958)×R²
    abs(-0.21379857--0.21384651)×2.39285142207279e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39285142207279e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39285142207279e-05×40589641000000     		ar = 49382.1353190817m²