Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61075 / 41125
↖ ↑ ↗
← N 55.520857°
W 12.252502°		 ← 172.90 m → N 55.520857°
W 12.249756°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
N 55.519302°
W 12.252502°		 ← 172.91 m →
29 897 m²		 N 55.519302°
W 12.249756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465969085693359 y=0.313762664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465969085693359 × 217)
    floor (0.465969085693359 × 131072)
    floor (61075.5)     		tx = 61075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313762664794922 × 217)
    floor (0.313762664794922 × 131072)
    floor (41125.5)     		ty = 41125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61075 / 41125 ti = "17/61075/41125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61075/41125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61075 ÷ 217
    61075 ÷ 131072     		x = 0.465965270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41125 ÷ 217
    41125 ÷ 131072     		y = 0.313758850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465965270996094 × 2 - 1) × π
    -0.0680694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21384651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313758850097656 × 2 - 1) × π
    0.372482299804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.17018765662519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21384651} λ = -0.21384651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17018765662519))-π/2
    2×atan(3.22259732352823)-π/2
    2×1.26990904252115-π/2
    2.53981808504229-1.57079632675     		φ = 0.96902176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21384651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.252502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96902176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.520857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61075 KachelY 41125 -0.21384651 0.96902176 -12.252502 55.520857
    Oben rechts KachelX + 1 61076 KachelY 41125 -0.21379857 0.96902176 -12.249756 55.520857
    Unten links KachelX 61075 KachelY + 1 41126 -0.21384651 0.96899462 -12.252502 55.519302
    Unten rechts KachelX + 1 61076 KachelY + 1 41126 -0.21379857 0.96899462 -12.249756 55.519302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96902176-0.96899462) × R
    2.71399999999256e-05 × 6371000     		dl = 172.908939999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96902176-0.96899462) × R
    2.71399999999256e-05 × 6371000     		dr = 172.908939999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21384651--0.21379857) × cos(0.96902176) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56610619674921 × 6371000     		do = 172.9034040607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21384651--0.21379857) × cos(0.96899462) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566128568919885 × 6371000     		du = 172.910237097483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96902176)-sin(0.96899462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56610619674921-0.566128568919885)×R²
    abs(-0.21379857--0.21384651)×2.23721706742452e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23721706742452e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23721706742452e-05×40589641000000     		ar = 29897.1350667785m²