Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61074 / 83054
↖ ↑ ↗
← S 43.289202°
W 12.255249°		 ← 222.32 m → S 43.289202°
W 12.252502°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
S 43.291201°
W 12.255249°		 ← 222.31 m →
49 432 m²		 S 43.291201°
W 12.252502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465961456298828 y=0.633655548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465961456298828 × 217)
    floor (0.465961456298828 × 131072)
    floor (61074.5)     		tx = 61074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633655548095703 × 217)
    floor (0.633655548095703 × 131072)
    floor (83054.5)     		ty = 83054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61074 / 83054 ti = "17/61074/83054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61074/83054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61074 ÷ 217
    61074 ÷ 131072     		x = 0.465957641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83054 ÷ 217
    83054 ÷ 131072     		y = 0.633651733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465957641601562 × 2 - 1) × π
    -0.068084716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21389445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633651733398438 × 2 - 1) × π
    -0.267303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.839758607544144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21389445} λ = -0.21389445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839758607544144))-π/2
    2×atan(0.431814747671516)-π/2
    2×0.407628611023036-π/2
    0.815257222046073-1.57079632675     		φ = -0.75553910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21389445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.255249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75553910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.289202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61074 KachelY 83054 -0.21389445 -0.75553910 -12.255249 -43.289202
    Oben rechts KachelX + 1 61075 KachelY 83054 -0.21384651 -0.75553910 -12.252502 -43.289202
    Unten links KachelX 61074 KachelY + 1 83055 -0.21389445 -0.75557400 -12.255249 -43.291201
    Unten rechts KachelX + 1 61075 KachelY + 1 83055 -0.21384651 -0.75557400 -12.252502 -43.291201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75553910--0.75557400) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dl = 222.347899999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75553910--0.75557400) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dr = 222.347899999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21389445--0.21384651) × cos(-0.75553910) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.727901998250966 × 6371000     		do = 222.320006463392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21389445--0.21384651) × cos(-0.75557400) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.727878067534484 × 6371000     		du = 222.312697406601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75553910)-sin(-0.75557400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727901998250966-0.727878067534484)×R²
    abs(-0.21384651--0.21389445)×2.39307164815461e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39307164815461e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39307164815461e-05×40589641000000     		ar = 49431.5739933793m²