Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61072 / 58000
↖ ↑ ↗
← S 79.827836°
E155.478515°		 ← 107.88 m → S 79.827836°
E155.484009°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
S 79.828806°
E155.478515°		 ← 107.87 m →
11 636 m²		 S 79.828806°
E155.484009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931892395019531 y=0.885017395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931892395019531 × 216)
    floor (0.931892395019531 × 65536)
    floor (61072.5)     		tx = 61072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.885017395019531 × 216)
    floor (0.885017395019531 × 65536)
    floor (58000.5)     		ty = 58000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61072 / 58000 ti = "16/61072/58000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61072/58000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61072 ÷ 216
    61072 ÷ 65536     		x = 0.931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58000 ÷ 216
    58000 ÷ 65536     		y = 0.885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931884765625 × 2 - 1) × π
    0.86376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71361201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.77001953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41908770242651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71361201} λ = 2.71361201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41908770242651))-π/2
    2×atan(0.0890027774506275)-π/2
    2×0.0887688764877981-π/2
    0.177537752975596-1.57079632675     		φ = -1.39325857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71361201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39325857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.827836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61072 KachelY 58000 2.71361201 -1.39325857 155.478515 -79.827836
    Oben rechts KachelX + 1 61073 KachelY 58000 2.71370789 -1.39325857 155.484009 -79.827836
    Unten links KachelX 61072 KachelY + 1 58001 2.71361201 -1.39327550 155.478515 -79.828806
    Unten rechts KachelX + 1 61073 KachelY + 1 58001 2.71370789 -1.39327550 155.484009 -79.828806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39325857--1.39327550) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39325857--1.39327550) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71361201-2.71370789) × cos(-1.39325857) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17660657073033 × 6371000     		do = 107.880385108276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71361201-2.71370789) × cos(-1.39327550) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176589906818814 × 6371000     		du = 107.870205933264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39325857)-sin(-1.39327550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17660657073033-0.176589906818814)×R²
    abs(2.71370789-2.71361201)×1.66639115162792e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.66639115162792e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.66639115162792e-05×40589641000000     		ar = 11635.5404865051m²