Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61071 / 83035
↖ ↑ ↗
← S 43.251204°
W 12.263489°		 ← 222.46 m → S 43.251204°
W 12.260742°		 →
↑
222.48 m
↓
↑
222.48 m
↓
S 43.253205°
W 12.263489°		 ← 222.45 m →
49 491 m²		 S 43.253205°
W 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465938568115234 y=0.633510589599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465938568115234 × 217)
    floor (0.465938568115234 × 131072)
    floor (61071.5)     		tx = 61071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633510589599609 × 217)
    floor (0.633510589599609 × 131072)
    floor (83035.5)     		ty = 83035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61071 / 83035 ti = "17/61071/83035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61071/83035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61071 ÷ 217
    61071 ÷ 131072     		x = 0.465934753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83035 ÷ 217
    83035 ÷ 131072     		y = 0.633506774902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465934753417969 × 2 - 1) × π
    -0.0681304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21403826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633506774902344 × 2 - 1) × π
    -0.267013549804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.838847806451363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21403826} λ = -0.21403826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838847806451363))-π/2
    2×atan(0.432208224177789)-π/2
    2×0.407960201496508-π/2
    0.815920402993015-1.57079632675     		φ = -0.75487592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21403826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.263489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75487592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.251204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61071 KachelY 83035 -0.21403826 -0.75487592 -12.263489 -43.251204
    Oben rechts KachelX + 1 61072 KachelY 83035 -0.21399032 -0.75487592 -12.260742 -43.251204
    Unten links KachelX 61071 KachelY + 1 83036 -0.21403826 -0.75491084 -12.263489 -43.253205
    Unten rechts KachelX + 1 61072 KachelY + 1 83036 -0.21399032 -0.75491084 -12.260742 -43.253205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75487592--0.75491084) × R
    3.49199999999383e-05 × 6371000     		dl = 222.475319999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75487592--0.75491084) × R
    3.49199999999383e-05 × 6371000     		dr = 222.475319999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21403826--0.21399032) × cos(-0.75487592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.728356568194298 × 6371000     		do = 222.458843824587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21403826--0.21399032) × cos(-0.75491084) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.728332640625605 × 6371000     		du = 222.451535729212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75487592)-sin(-0.75491084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728356568194298-0.728332640625605)×R²
    abs(-0.21399032--0.21403826)×2.39275686931828e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39275686931828e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39275686931828e-05×40589641000000     		ar = 49490.789536242m²