Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61071 / 57967
↖ ↑ ↗
← S 79.795772°
E155.473022°		 ← 108.21 m → S 79.795772°
E155.478515°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
S 79.796745°
E155.473022°		 ← 108.20 m →
11 705 m²		 S 79.796745°
E155.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931877136230469 y=0.884513854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931877136230469 × 216)
    floor (0.931877136230469 × 65536)
    floor (61071.5)     		tx = 61071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884513854980469 × 216)
    floor (0.884513854980469 × 65536)
    floor (57967.5)     		ty = 57967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61071 / 57967 ti = "16/61071/57967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61071/57967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61071 ÷ 216
    61071 ÷ 65536     		x = 0.931869506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57967 ÷ 216
    57967 ÷ 65536     		y = 0.884506225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931869506835938 × 2 - 1) × π
    0.863739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71351614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884506225585938 × 2 - 1) × π
    -0.769012451171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41592386705159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71351614} λ = 2.71351614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41592386705159))-π/2
    2×atan(0.0892848135089598)-π/2
    2×0.0890486889818159-π/2
    0.178097377963632-1.57079632675     		φ = -1.39269895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71351614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.473022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39269895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.795772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61071 KachelY 57967 2.71351614 -1.39269895 155.473022 -79.795772
    Oben rechts KachelX + 1 61072 KachelY 57967 2.71361201 -1.39269895 155.478515 -79.795772
    Unten links KachelX 61071 KachelY + 1 57968 2.71351614 -1.39271593 155.473022 -79.796745
    Unten rechts KachelX + 1 61072 KachelY + 1 57968 2.71361201 -1.39271593 155.478515 -79.796745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39269895--1.39271593) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dl = 108.179580000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39269895--1.39271593) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dr = 108.179580000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71351614-2.71361201) × cos(-1.39269895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177157366673895 × 6371000     		do = 108.205552929818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71351614-2.71361201) × cos(-1.39271593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177140655228867 × 6371000     		du = 108.195345783576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39269895)-sin(-1.39271593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177157366673895-0.177140655228867)×R²
    abs(2.71361201-2.71351614)×1.67114450277672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67114450277672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67114450277672e-05×40589641000000     		ar = 11705.0791675034m²