Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61071 / 57832
↖ ↑ ↗
← S 79.663556°
E155.473022°		 ← 109.59 m → S 79.663556°
E155.478515°		 →
↑
109.58 m
↓
↑
109.58 m
↓
S 79.664541°
E155.473022°		 ← 109.58 m →
12 009 m²		 S 79.664541°
E155.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931877136230469 y=0.882453918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931877136230469 × 216)
    floor (0.931877136230469 × 65536)
    floor (61071.5)     		tx = 61071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882453918457031 × 216)
    floor (0.882453918457031 × 65536)
    floor (57832.5)     		ty = 57832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61071 / 57832 ti = "16/61071/57832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61071/57832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61071 ÷ 216
    61071 ÷ 65536     		x = 0.931869506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57832 ÷ 216
    57832 ÷ 65536     		y = 0.8824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931869506835938 × 2 - 1) × π
    0.863739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71351614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8824462890625 × 2 - 1) × π
    -0.764892578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40298090415417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71351614} λ = 2.71351614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40298090415417))-π/2
    2×atan(0.0904479344157292)-π/2
    2×0.0902024916921758-π/2
    0.180404983384352-1.57079632675     		φ = -1.39039134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71351614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.473022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39039134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.663556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61071 KachelY 57832 2.71351614 -1.39039134 155.473022 -79.663556
    Oben rechts KachelX + 1 61072 KachelY 57832 2.71361201 -1.39039134 155.478515 -79.663556
    Unten links KachelX 61071 KachelY + 1 57833 2.71351614 -1.39040854 155.473022 -79.664541
    Unten rechts KachelX + 1 61072 KachelY + 1 57833 2.71361201 -1.39040854 155.478515 -79.664541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39039134--1.39040854) × R
    1.71999999998285e-05 × 6371000     		dl = 109.581199998907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39039134--1.39040854) × R
    1.71999999998285e-05 × 6371000     		dr = 109.581199998907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71351614-2.71361201) × cos(-1.39039134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179428002437049 × 6371000     		do = 109.592429484077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71351614-2.71361201) × cos(-1.39040854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17941108154746 × 6371000     		du = 109.582094411659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39039134)-sin(-1.39040854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179428002437049-0.17941108154746)×R²
    abs(2.71361201-2.71351614)×1.69208895889061e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69208895889061e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69208895889061e-05×40589641000000     		ar = 12008.7036691345m²