Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61071 / 34183
↖ ↑ ↗
← N 64.915392°
W 12.263489°		 ← 129.49 m → N 64.915392°
W 12.260742°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
N 64.914227°
W 12.263489°		 ← 129.49 m →
16 772 m²		 N 64.914227°
W 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465938568115234 y=0.260799407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465938568115234 × 217)
    floor (0.465938568115234 × 131072)
    floor (61071.5)     		tx = 61071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260799407958984 × 217)
    floor (0.260799407958984 × 131072)
    floor (34183.5)     		ty = 34183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61071 / 34183 ti = "17/61071/34183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61071/34183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61071 ÷ 217
    61071 ÷ 131072     		x = 0.465934753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34183 ÷ 217
    34183 ÷ 131072     		y = 0.260795593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465934753417969 × 2 - 1) × π
    -0.0681304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21403826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260795593261719 × 2 - 1) × π
    0.478408813476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.50296561378762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21403826} λ = -0.21403826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50296561378762))-π/2
    2×atan(4.49499975665885)-π/2
    2×1.35189182593301-π/2
    2.70378365186602-1.57079632675     		φ = 1.13298733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21403826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.263489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13298733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.915392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61071 KachelY 34183 -0.21403826 1.13298733 -12.263489 64.915392
    Oben rechts KachelX + 1 61072 KachelY 34183 -0.21399032 1.13298733 -12.260742 64.915392
    Unten links KachelX 61071 KachelY + 1 34184 -0.21403826 1.13296700 -12.263489 64.914227
    Unten rechts KachelX + 1 61072 KachelY + 1 34184 -0.21399032 1.13296700 -12.260742 64.914227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13298733-1.13296700) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13298733-1.13296700) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21403826--0.21399032) × cos(1.13298733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42395613049834 × 6371000     		do = 129.487114884982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21403826--0.21399032) × cos(1.13296700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423974542940537 × 6371000     		du = 129.492738518765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13298733)-sin(1.13296700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42395613049834-0.423974542940537)×R²
    abs(-0.21399032--0.21403826)×1.84124421972465e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84124421972465e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84124421972465e-05×40589641000000     		ar = 16771.8499673514m²